《高考压轴题之数列（2020年7月整理）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考压轴题之数列（2020年7月整理）.pdf（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学 海 无 涯 第 页共 15页页 1 数列及其通项 例 1 设 n a是首项为 1 的正项数列，且()01 1 22 1 =+ +nnnn ananaan（n=1，2，3，） ，则它的通项公 式是 n a= 分析 本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点： 即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法(由特殊到 一般).也可化简递推式,从而求得通项公式. 解法一： 由条件, 1 1= a()01 1 22 1 =+ +nnnn ananaan,可得 2 1 2 =a, 3 1 3 =a, 4 1 4 =a,(负值舍去) 由此可猜想 n an 1 =. 解法二： 由()01 1 22 1 =+ +n
2、nnn ananaan,可得()0)(1 11 =+ +nnnn aanaan 因为0 n a,所以0)( 1 + +nn aa故只有()01 1 =+ +nn naan,即 1 1 + = + n n a a n n 所以= n a 1n n a a 2 1 n n a a 3 2 n n a a 1 1 2 a a a = n 1 链接 形如)( 1 nqaa nn += + 的递归式,其通项公式求法为： 11 111 11 ()( ) nn nkk kk aaaaaq k + = =+=+ 形如 nn anpa)( 1=+ 的递归式,其通项公式求法为： 32 11 121 (1)(2)(
3、1) n n n aaa aaappp n aaa = 例 2 . 已知 an = n 98 n 99 ( nN* )，则在数列a n 的前 20 项中，最大项和最小项分别是() A.a9,a8 . B.a10,a9 . C.a8,a9 . A.a9,a10 . 分析 因为 an =1+ 99 98 n 99 所以 a1,a2 ,a9 组成递减数列，a1最大，a10最小; a10,a11 ,a20组成递减数列，a10,最大，a20,最小，计算 a1 a10, a9 a20. 所以在数列 an 前 20 项中，最大项为 a10，最小项为 a9，故选 B. 说明要确定数列 an 的最大项和最小项，
4、一种思路是先判断数列的单调性，另一种思路是画图观察. 等差数列与等比数列 例 1.设无穷等差数列an的前 n 项和为 Sn. ()若首项= 1 a 3 2 ，公差 1= =d，求满足 2 )( 2k k SS= =的正整数 k； ()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有 2 )( 2k k SS= =成立. 【答案】【答案】解： （I）当1, 2 3 1 =da时，nn nn nd nn naSn+= += += 2 1 2 1 2 ) 1( 2 3 2 ) 1( 由 2 24222 11 () , () 22 k k SSkkkk=+=+得，即0) 1 4 1 ( 3 =kk。
5、 又0, 4kk=所以。 （II）设数列an的公差为 d，则在 2 )( 2 n n SS=中分别取k=1，2,得 学 海 无 涯 第 页共 15页页 2 2 2 11 11 22 1142 1 () , ? 4 32 1 4(2) 2() 22 aa SS adadSS = = +=+= （ ） 即 （ ） 。 解得 1111 0011 0602 aaaa dddd = = 或或或。 若 2 2 1 0, 0, 0, 0, () nnk k adaSSS=则从而成立； 若 2 133 0, 6, 6(1), 18, ()324, 216 nn adanSSS=则由知,)( 2 39 Ss 故
6、所得数列不符合题意。 若 2 2 1 1,0,1,() nnk k adaSnSS=则从而成立； 若 22 1 1,2,21, 1 3(21), () nnn adanSnnSS= + +=则从而成立。 综上，共有 3 个满足条件的无穷等差数列： an : an=0，即 0，0，0，； an : an=1，即 1，1，1，； an : an=2n1，即 1，3，5，。 【考点】【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。 【分析】【分析】 （I）利用等差数列的求和公式表示出前 n 项的和，代入到 2 )( 2k k SS= =求得k。 （）设数列an的公差为 d，在 Sn2=(Sn)2 中分别
7、取k=1，2 求得 1 a，代入到前 n 项的和中分别 求得 d，进而对 1 a和 d 进行验证，最后综合求得答案。 例 2 OBC 的在个顶点坐标分别为（0,0） 、 （1,0） 、 （0,2）,设 P1为线段 BC 的中点,P2为线段 CO 的中点,P3为线 段 OP1的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3为线段 PnPn+1的中点,令 Pn的 坐标为(xn,yn),. 2 1 21+ += nnnn yyya （）求 321 ,aaa及 n a; （）证明;, 4 1 4 + =Nn y y n n ()若记, 444 + =Nnyyb nnn 证明 n b是等比数列 分析 本题主要考查
8、数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题 的创新能力 利用图形及递推关系即可解决此类问题 解 ()因为 4 3 , 2 1 , 1 53421 =yyyyy， C B X Y P P P O 12 3 学 海 无 涯 第 页共 15页页 3 所以2 321 =aaa，又由题意可知 2 1 3 + + = nn n yy y 3211 2 1 + += nnnn yyya = 22 1 1 21 + + + + nn nn yy yy=, 2 1 21nnnn ayyy=+ + n a为常数列., 2 1 =Nnaan ()将等式2 2 1 21 =+ +nnn
9、 yyy两边除以 2， 得 , 1 24 1 21 = + + +nn n yy y 又 2 21 4 + + + = nn n yy y , . 4 1 4 n n y y= + （）) 4 1 () 4 1 ( 444 44341 nn nnn yy yyb= + + =)( 4 1 444nn yy + =, 4 1 n b 又, 0 4 1 431 =yyb n b是公比为 4 1 的等比数列 说明 本题符号较多，有点列Pn，同时还有三个数列an，yn ， bn，再加之该题是压轴题，因而考生 会惧怕， 而如果没有良好的心理素质， 或足够的信心， 就很难破题深入 即使有的考生写了一些解题
10、过程， 但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四最终因心理素质的 欠缺而无法拿到全分 例 3设数列 n a的前n项和为 n S，已知11, 6, 1 321 =aaa，且 , 3 , 2 , 1,)25()85( 1 =+=+ + nBAnSnSn nn ，其中 A.B 为常数 求 A 与 B 的值； （2 分） 证明：数列 n a为等差数列； （6 分） 证明：不等式15 nmmn aaa对任何正整数nm,都成立（6 分） 【答案】【答案】解： （1）由已知，得1 11 = aS，7 212 =+=aaS，18 3213 =+=aaaS， 由BAnSnSn
11、nn +=+ + )25()85( 1 ，知 += += BASS BASS 2122 73 23 12 ，即 + =+ 482 28 BA BA ，解得8,20=BA。 （2）由（1）得820)25()85( 1 =+ + nSnSn nn 2820)75()35( 12 =+ + nSnSn nn 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 学 海 无 涯 第 页共 15页页 4 得，20)25() 110()35( 12 =+ +nnn SnSnSn 20)75()910()25( 123 =+ +nnn SnSnSn 得 0)25()615()615()25( 123 =+ +nnnn S
12、nSnSnSn。 nnn SSa= +11 ，0)75()410()25( 123 =+ +nnn ananan。 0)25(+n， 02 123 =+ +nnn aaa。 1223+ = nnnn aaaa ，1n。 又 5 1223 =aaaa，数列 n a为等差数列。 （3）由（2） 可知，45) 1(51=+=nnan， 要证15 nmmn aaa，只要证 nmnmmn aaaaa215+。 因为45= mnamn，16)(2025)45)(45(+=nmmnnmaa nm ， 故只要证 )45(5 mn nma anmmn216)(20251+， 即只要证 nma anm237202
13、0+。 因为 372020)291515(8558552+=+=+nmnmnmnmaaaa nmnm ， 由于以上过程是可逆的，所以命题得证。 【考点】【考点】数列的应用。 【分析】【分析】 （1）由题意知 += += BASS BASS 2122 73 23 12 ，从而解得 A=20，B=8。 （2）由（）得820)25()85( 1 =+ + nSnSn nn ，所以在式中令1nn=+，可得 2820)75()35( 12 =+ + nSnSn nn 由此入手能够推出数列an为等差数列。 （3）由（2）可知，45) 1(51=+=nnan，然后用分析法可以使命题得证。 例 4.已知 n
14、a是等差数列， n b是公比为q的等比数列， 11221 ,ab aba=，记 n S为数列 n b的前n 项和， （1）若( , km bam k=是大于2的正整数)，求证： 11 (1) k Sma =； （4 分） （2）若 3 ( i ba i=是某一正整数)，求证：q是整数，且数列 n b中每一项都是数列 n a中的项； （8 分） 学 海 无 涯 第 页共 15页页 5 （3）是否存在这样的正数q，使等比数列 n b中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以 说明；若不存在，请说明理由； （4 分） 【答案】【答案】解：设 n a的公差为d，由 11221 ,ab aba=
15、，知0,1dq，() 1 1daq=（ 1 0a ） （1）证： km ba=， ()() 1 111 11 k a qama q =+，()()() 1 11121 k qmqmmq = +=+。 ()()() () 1 11 11 111 1 1 k k aqammq Sma qq = 。 （2）证：()() 2 3111 ,11 i ba q aaia q=+，且 3i ba=， ()()()() 22 111 ,120,qiqqiqi= += 解得，1q =或2qi= ，但1q ，2qi= 。 i是正整数，2i 是整数，即q是整数。 设数列 n b中任意一项为 () 1 1 n n ba qnN +
