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1、高三年级理科数学试卷共 10 页 第 1页 2019-2020 学年度第二学期高三年级第一次月考 高三年级理科数学试卷 （考试时间：120 分钟总分： 150 分） 第 I 卷（选择题共60 分） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 2 20 ,1,0,1AxR xxB，则 AB（ C） A-1,0,1B1,0C0,1D0 2.已知复数z 满足： （2 i）z 1i，其中 i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（D） A. 1 5 3 5 iB. 1 3 iC. 1 3 iD. 1 5 3 5 i 3.已
2、知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 S54， S1010，则 S15(D) A.16B. 25C.20D.19 4.点1,1M到抛物线 2 2yax准线的距离为2，则 a 的值为(C) A. 1B. 1或3C. 1 8 或 1 24 D. 1 4 或 1 12 5.如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数x的取值范围是 （A ） A. 18 , 27 9 B. 81 , 9 27 C. 1 2, 9 【解析】 1n，12x，否，31xx；2n，否，313 194xxx； 3n，否，94312713xxx；4n，12x，是，即271312x； 解不等式271x， 1 27 x
3、，且满足9412x， 8 9 x， 综上所述，若输出的结果为4，则输入的实数 x的取值范围是 18 27 9 ， 6.在 ABC中，角 A， B，C 所对边长分别为 a，b，c，若 2abc，则cosC的最小值为( B) 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 2页 A. 1 2 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 7.已知两点2,0A，2,0B以及圆 C： 22 2 43xyr （0r） ，若圆 C 上存在点P，满足 0PA PB ，则 r 的取值范围是(B) A.3,6B. 3,7 C. 4,7 D.4,6 【详解】由于圆C 上存在点 P，满足 0PA PB ，故以AB为直径的圆O与圆
4、C有公共点 .圆O的圆心 为0,0， 半 径 为 2. 圆 C 的 圆 心 为4,3， 半 径 为r所 以22rOCr， 而 2 2 435OC ，所以252rr，解得37r. 8.给出下列说法：设0 x，yR，则“ xy”是“xy”的充分不必要条件；若 1 1 fxx x ，则 00,x，使得01fx；n a为等比数列，则“ 123 aaa”是 “ 45 aa”的充分不必要条件；命题“xR ， x N ，使得 2 nx ”的否定形式是“xR ， nN ，使得 2 nx ” .其中正确说法的个数为(B) A. 0B. 1C. 2D. 3 【详解】对于，当“xy”时，如12，结论12错误，“xy
5、”不是“xy”的充分条 件 ，故 错 误.对 于 ， 当0 x时 ， 11 112111 11 fxxx xx ， 当且 仅当 1 1,0 1 xx x 时 等 号 成 立 ， 所 以1fx， 故 错 误.对 于 ， 在 等 比 数 列 n a中 ， 当 “ 123 aaa”时，所以等比数列 n a是单调递增数列，所以“ 45 aa” . 当“ 45 aa”时，如 1, 2,4,8,16, ，不能推出“123 aaa” . 所以正确. 对于，命题“ xR ， x N ，使得 2 nx ”的否定形式是“x R ， nN ，使得 2 nx ”，故错误 . 综上所述， 正确说法个数为1个. 9.已知
6、某几何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为(A) A.8B. 4 C.22D. 2 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学（理）试卷参考答案 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 3页 10.不等式组 10 20 0 x xy y 表示的点集记为 A，不等式组 2 10 20 x xy yx 表示的点集记为 B，在A中任取 一点 P，则PB的概率为(C) A. 4 9 B. 2 3 C. 20 27 D. 7 16 【详解】 点集A表示的图像为如图所示三角形ABC，点集 B 表示的图像为如 图所示阴影部分.由于三角形ABC的面积为 1
7、9 33 22 ，阴影部分的面积为 1 2 1 2xx dx 23 1 1 2| 23 xx x 71310 663 .所以所求的概 率为 9 20 2 10 27 3 . 11.椭圆 22 22 :1 x a C y b 0ab的左右焦点为F1，F2，过 F2作 x 轴的垂线与 C 交于 A，B 两点， F1A 与 y 轴相交于点 D，若 BDF1A，则椭圆 C 的离心率等于（D） A 1 3 B 3 C 1 2 D 3 3 【解析】 由题意可得， 2 ( ,) b A c a ， 2 ( ,) b B c a ， 则点D为 1F A的中点， 2 (0,) 2 b D a ，由1BDF A，
8、得 1 1 BDF A kk，即 222 2 1 2 bbb aaa cc ，整 理得 2 32bac， 22 3()2acac， 2 3+230ee ，解得 3 3 e 12.已知函数3( )logf xx的图象与函数 ( )g x 的图象关于直线 yx对称，函数 ( )h x是最小正 周期为 2 的偶函数，且当0,1x时，( )( )1h xg x，若函数( )( )ykf xh x有 3 个零点， 则实数 k的取值范围是（B） A7 1,2log3 B5 2,2log3 C5 2log3, 1 D7 1 log 3, 2 解析】 由函数 3 ( )logf xx的图象与函数 ( )g x
9、 的图象关于直线 yx对称，得 ( )3x g x， 函数( )h x是最小正周期为 2 的偶函数，当0,1x时，( )( )131 x h xg x， 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学（理）试卷参考答案 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 4页 函数( )( )ykf xh x有 3 个零点，即 3 log( )kxh x 有 3 个不同根， 画出函数 3 logyk x与 ( )yh x的图象如图： 要使函数 3 logyk x与 ( )yh x的图象有 3 个交点， 则0k，且 3 3 log 32 log 52 k k ，即 5 22log 3k ，
10、实数 k的取值范围是 5 2,2log3，故选 B 第卷（非选择题共 90分） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线上. 13.已知定义在 R上的奇函数 fx 满足当0 x时， 3 lnfxx x ，则曲线 yfx 在点 1,1f处的切线斜率为 _ 【答案】 4 14.如果 1 3 n x x 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 4 1 x 的系数是 _ . 【答案】 -189 15.已知 ABC中，3AC ，4BC， 2 C ， 点P为ABC外接圆上任意一点， 则CP ABAC 的最大值为 _ .【答案】 18 16.在数列na中， 1 1
11、 3 a， 1 13 3 nnn aaa ，Nn，且 1 3 n n b a .记 12nn Pbbb， 12nn Sbbb，则 1 3 n nn PS_.【答案】 3 【详解】由于 1 13 3 nnn aaa ， 1 3 n n b a ， 所以 1 3 n n n a b a ， 12nn Pbbb 3121 23411 33333 n n nn aaaaa aaaaa ，. 又 1 1311 33 nnnnn aaaaa ， 1 11 n nn b aa ， 所以 12nn Sbbb 12231 111111 nn aaaaaa 1 1 3 n a .所以 2020届广东省东莞市光明中
12、学2017级高三下学期第一次月考数学（理）试卷参考答案 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 5页 1 3 n nn PS 1 1 11 1 333 3 n n nn a aa . 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(12 分)在锐角三角形 ABC中，角 ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 已知 . （1）求角C的大小；（2）求 22 coscosAB 的取值范围 试题解析：（1）因为sinsinsinsinacACbAB，由正弦定理得 acacb ab，即 222 abcab，则 222 1 22 abc ab 根据余弦
13、定理得 1 cos 2 C 又因为0C，所以 3 C5 分 （2）因为 3 C，所以 4 22 3 BA 则 221cos21cos21 coscos1cos2cos2 222 AB ABAB 14 1cos2cos2 23 AA 113 1cos2sin2 222 AA 1 1cos 2 23 A 8 分 因为三角形 ABC为锐角三角形且 3 C ，所以 62 A 则 24 2 333 A 所以 1 1cos 2 62 A ， 所以 2213 coscos 24 AB 即 22 coscosAB 的取值范围为 13 24 ，。12 分 18.如图，在矩形 ABCD中，点E为边AD上的点，点F
14、 为边CD的中点， 2 3 ABAEAD，现将 ABE 沿 BE 边折至 PBE位置，且平面PBE 平面BCDE. (1) 求证：平面平面； (2) 求二面角的大小 . 试题解析： (1) 证明 :由题可知：折前 ()(sinsin)(sinsin)acACbAB 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学（理）试卷参考答案 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 6页 ， 。 6分 （2）不妨设3AD，以D为原点，以DC方向为 x轴，以 ED方向为 y轴，以与平面EBCD向上的 法向量同方向为z轴，建立空间直角坐标系 .7 分 则 设平面PEF和平面PCF的法向量分别为
15、， 由 1 0nFP 及可得到即，不妨取 又由 2 0nFP 及可得到即 不妨取 9 分 .11 分 综上所述，二面角大小为.12 分. 19.某土特产超市为预估2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019 年元旦期间的90 位游客购买 情况进行统计，得到如下人数分布表。 (1)根据以上数据完成22 列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60 元与性别有关。 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学（理）试卷参考答案 高三年级理科数学试卷共 10 页 第 7页 (2)为吸引游客。该超市推出一种优惠方案。购买金额 不少于 60 元可抽奖3 次。每次中
16、奖概率为p(每次抽奖 互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少 于 60 元的频率 )，中奖 1 次减 5 元，中奖 2次减 10 元， 中奖 3 次减 15 元。若游客甲计划购买80 元的土特产，请列出实际付款数X( 元)的分布列并求其数学期 望。附：参考公式和数据： 2 2() ()()()() n adbc K abcdac bd ，nabcd。 附表： 20.已知椭圆 ： 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为26，短轴长为22。 (1)求的方程； (2)直线 l1：ykxm(k 0)与相切于点M ，l1与两坐标轴的交点为A 与 B，直线 l2经过点 M 且与 l1 垂直， l2与的另一个交点为 N。当 AB 取得最小值时，求ABN 的面积。 2020届广东省东莞市光明中学2017级高三下学期第一次月考数学（理）试卷参考答案 高三年级理科数学试卷
