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1、高考专题突破三 高考中的数列问题,考点自测,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,考点自测,1.(2016广州模拟)数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为,答案,解析,答案,解析,设等差数列an的首项为a1，公差为d.,a55，S515，,ana1(n1)dn.,3.等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列an的公比为_.,答案,解析,设等比数列an的公比为q(q0)， 由4S2S13S3， 得4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)， 即3q2q0，又q0，q .,4.(2015课标全国)设Sn
2、是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.,答案,解析,由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，,答案,解析,4,an2an1，又a11， an是以1为首项，以2为公比的等比数列， an(2)n1，,由1Sk9，得4(2)k28， 又kN，k4.,题型分类深度剖析,例1(2016四川)已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n 项和，Sn1qSn1，其中q0，nN. (1)若a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an的通项公式；,题型一等差数列、等比数列的综合问题,解答,由已知，Sn1qSn1，得Sn2qSn11，两式相减得an2qan1，n1.
3、 又由S2qS11得a2qa1，故an1qan对所有n1都成立.所以，数列an是首项为1，公比为q的等比数列. 从而anqn1.由a2，a3，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，故q2. 所以an2n1(nN).,解答,由(1)可知，anqn1，,n1q2q2(n1),等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序. (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和
4、后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.,思维升华,跟踪训练1已知首项为 的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,解答,设等比数列an的公比为q， 因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列， 所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，,(2)设TnSn (nN)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值.,解答,当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，,当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，,题型二数列的通项与求和,例2已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnana
5、n1(n2)，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列；,证明,anSnn， an1Sn1n1. ，得an1anan11， 2an1an1，2(an11)an1，,首项c1a11，又a1a11.,又cnan1，,解答,(2)求数列bn的通项公式.,当n2时，bnanan1,(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息. (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.,思维升华,跟踪训练2已知数列an的前n项和为Sn，且a1 ，an1 an. (1)证明：数列 是等比数列；,证明,(2)求数列an的通项公
6、式与前n项和Sn.,解答,题型三数列与其他知识的交汇,解答,命题点1数列与函数的交汇,f(x)2axb，由题意知b2n， 16n2a4nb0，,又f(x)x2n，,当n1时，a14也符合，,解答,Tnb1b2bn,解答,命题点2数列与不等式的交汇,解答,(2)求数列an的通项公式；,得Sn(n2n)(Sn3)0. 又已知数列an各项均为正数， 故Snn2n. 当n2时， anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n， 当n1时，a12也满足上式， an2n，nN.,证明,kN，4k22k(3k23k)k2kk(k1)0， 4k22k3k23k，,不等式成立.,命题点3数列应用题,例5(2016长
7、沙模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. (1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；,解答,由题意，得 a12 000(150%)d3 000d，,(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).,解答,整理，得,由题意，得am4 000，,数列与其他知识交汇问题的常见类
8、型及解题策略 (1)数列与函数的交汇问题 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题； 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.,思维升华,(2)数列与不等式的交汇问题 函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式； 放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；
9、比较方法：作差或者作商比较. (3)数列应用题 根据题意，确定数列模型； 准确求解模型； 问题作答，不要忽视问题的实际意义.,跟踪训练3设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图像上(nN). (1)若a12，点(a8 ,4b7)在函数f(x)的图像上，求数列an的前n项和Sn；,解答,由已知，得b7 ，b8 4b7， 有 4 . 解得da8a72.,解答,f(x)2xln 2，f(a2) ln 2， 故函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y ln 2(xa2)，,所以da2a11. 从而ann，bn2n.,课时作业,1.(2016北京)已知an是等差数列，bn
10、是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4. (1)求an的通项公式；,解答,1,2,3,4,5,设数列an的公差为d，bn的公比为q，,bn的通项公式bnb1qn13n1， 又a1b11，a14b434127， 1(141)d27，解得d2. an的通项公式ana1(n1)d1(n1)22n1(n1,2,3，).,1,2,3,4,5,解答,(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和.,设数列cn的前n项和为Sn. cnanbn2n13n1， Snc1c2c3cn 2113022131231322n13n1,1,2,3,4,5,2.(2016全国甲卷)等差数列an中，a3a44，a5a
11、76. (1)求an的通项公式；,设数列an的首项为a1，公差为d，,1,2,3,4,5,解答,(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.,解答,1,2,3,4,5,所以数列bn的前10项和为 1322334224.,1,2,3,4,5,3.已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n(nN). (1)求数列an的前三项a1，a2，a3；,解答,在Sn2an(1)n(nN)中分别令n1,2,3，,1,2,3,4,5,(2)求证：数列an (1)n为等比数列，并求出an的通项公式.,证明,1,2,3,4,5,由Sn2an(1)n(nN)，得
12、 Sn12an1(1)n1(n2)，两式相减，得 an2an12(1)n(n2)，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.已知正项数列an中，a11，点( ，an1)(nN)在函数yx21的图像上，数列bn的前n项和Sn2bn. (1)求数列an和bn的通项公式；,解答,1,2,3,4,5,an1an1，数列an是公差为1的等差数列. a11，an1(n1)1n， Sn2bn，Sn12bn1， 两式相减，得bn1bn1bn，,由S12b1，即b12b1，得b11.,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.在等比数列an中，an0(nN)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列an的通项公式；,解答,1,2,3,4,5,又an0，a3a55， 又a3与a5的等比中项为2， a3a54，而q(0,1)，,1,2,3,4,5,(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和Sn；,解答,bnlog2an5n，bn1bn1， b1log2a1log216log2244， bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,
