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1、最新考纲解读 掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念，应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、角度等问题,高考考查命题趋势 使用“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面间各类角的问题比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2011年高考命题的重点支持新课改，在重叠部分做文章，在知识交汇点处命题.,1.异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a，b所成的锐角
2、(或直角)叫异面直线a，b所成的角(或夹角),2直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角 一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角 (2)范围：,(3)定理：斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内的直线所成的一切角中最小的角,3二面角 (1)定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l，两个面分别为，的二面角记为l. (2)二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O分别在两个
3、半平面内作棱的两条垂线OA，OB，则AOB叫做二面角l的平面角 作法：定义法；垂面法；利用三垂线定理或其逆定理,(3)范围：二面角的平面角范围是0，180 二面角的平面角为直角时，则称此二面角为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直,4三种空间角的求法 (1)几何法：作证算； (2)向量法：异面直线a，b所成的角：cos|cos|； 直线a与平面(法向量n)所成的角：sin|cos| ； 锐二面角：cos|cos|，其中m，n为两个面的法向量,(3)其他公式：平面的斜线a与内一直线b相交成角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有cos1cos2cos. 求二面角的射影公式：c
4、os ， 其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积，S是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小.,1.求空间角一般转化为平面角来实现，要注意三种角的范围，求角的一般步骤是： (1)找或作出有关的平面角； (2)证明此角即为所求； (3)化归到一个三角形中求角,2求空间角的方法： (1)几何法； (2)向量法：求异面直线所成的角，转化为两异面直线的方向向量的夹角(或其补角)； 求直线与平面所成的角，转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角(或其补角)的余角； 求二面角，转化为两平面的法向量的夹角(或其补角)，求角之前可以对二面角的范围作一下预判(锐角或钝角).,一、选择题
5、 1异面直线a与b所成的角为50，P为空间一点，则过P点且与a、b所成的角都是30的直线有() A1条B2条 C3条 D4条 答案B,2平面的斜线与所成的角为30，则此斜线和内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为 () A30 B60 C90 D150 答案C,3在边长为a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BC ，这时二面角BADC的大小为 () A30B45 C60 D90 答案C,4四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD2AB，EFAB，则EF与CD所成的角等于 () A30 B45 C60 D90 答案A,5在正方体AC1中，E、F分别为D1
6、C1与AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角为() 答案A,二、填空题 6一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是和，则的范围是_ 答案0，90,例1直三棱柱A1B1C1ABC，BCA90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 (),答案A,解法一与解法二从两个不同角度求异面直线所成的角解法一体现传统方法作证算；解法二把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点用向量法求异面直线所成的角应注意两向量所成的角是否为锐角或直角,例2在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角 分析求线面角的关键在于找出斜线
7、在平面内的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面内作交线的垂线，线面角即可作出，然后转化到三角形中求解,解解法一： 取BC的中点F，连结AF、DF. 正四面体ABCD， BCAF，BCDF， BC面AFD， 而BC平面BCD， 面AFD面BCD， 过E作EHDF于H， 而DF平面BCD，则EH面BCD， 则ECH为CE与面BCD所成的角 在RtCEH中，sinECH 即CE与平面BCD成的角为arcsin,(1)用传统方法求线面角：“作证求”； (2)利用公式coscoscos求线面角； (3)用向量法求线面角先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角,例3(2009全
8、国1)如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD ，DCSD2，点M在侧棱SC上，ABM60. (1)证明：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角SAMB的大小,(2)解法一：过M作CD的平行线 法1：利用三垂线定理求解在新教材中弱化了三垂线定理这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求二面角 过M作MJCD交SD于J，作SHAJ交AJ于H，作HKAM交AM于K ， 则JMCD，JM面SAD，面SAD面MBA，SH面AMB SKH即为所求二面角的补角,二面角是三种角中最复杂的一种，用向量方法处理二面角问题时，将传统求二面角问题时的三部曲：“作证求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎淡化了学生的空间想象能力，实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加重视对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神,空间角的求解有两种方法：一种是几何法，另一种是向量法 1几何法一般要有三个步骤 (1)作图：如上例中作出二面角的平面角及题中涉及的有关图形等； (2)证明：证明所给图形是符合题设要求的； (3)计算：在证明的基础上计算得出结果 2向量法是把求角的问题转化为求两向量的夹角这里平面的法向量常用待定系数法求解，平面的法向量是关键,
