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1、第4讲中点的灵活应用1.如图，在 ABC中,M、N分别是 AB、AC的中点，且Z A+Z B=120 , 则/ ANM=.Z ANM =603. 如图， ABC中,AB=1,AC=2,D是BC的中点,AE平分 / BAC交BC于E,且DF / AE,则CF的长为.CF=1.54. 若四边形的两条对角线相等，则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是（|菱形）若四边形的两条对角线垂直，则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是（匝）若四边形的两条对角线垂直且相等，则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是（匹政）5. 如图 脚是 ABC的边BC的中点,AN平分Z BAC,BN AN于点N,且AB=10
2、,BC=15,MN =3,则 ABC的周长等于()A. 38 B. 39 C. 40 D. 41选择D6.如图，平行四边形 ABCD中对角线 AC、BD相交于点 O,BD=2AD,E、F、G分别是 OC、OD、AB的中点求证:(1)BE AC,(2) EG =EF(1) 平仃四边形 ABCD,BD=2ADBO = BC,E为OC中点，. BE上AC(三线合一)二一 _ 1 _ _(2) . G 是 AB 中点，. . EG=2AB=；CD=EF 7.如图，在 ABC中,AB=AC,延长 AB至ij D,使BD=AB,E为AB中点，连结 CE、CD,求证：CD=2ECA-取AC的中点F,连接BF
3、,_/.AB=AC,点E,F分别是 AB,AC的中点*C8.如图，点0是 ABC所在平面内一动点，连结OB、OC,把AB、OB、 OC、CA的中点D、E、F、G顺次连结起来，设DEF G能构造四边形.(1) 当点O在 ABC内时,求证：四边形 DEF G是平行四边形；(2) 当点O移动到 ABC外时,(1)的结论是否成立？画图说理由；.(3) 若四边形DEF G为矩形，则点O所在位置满足什么条件？试说明(1) 连结 AO,： D,E,F,G 分别是 AB,OB.OC.AC 的中点，DE / AO / F G 即 DE / F G司理可得，DG / BC,EF / BC. DG / 田.DE /
4、 F G ,D G / EF,所以四边形 DEF G是平行四边旷|/ (2) 证明方法同(1)|D(3) 若四边形DEF G为矩形，那么四边形ABOC的对角线应垂直帆点O所在位置应在过点 A且垂直BC的直线上(A点除朽|BDETOADGTBCAOTBCTDETDGIIDEFGEF1O的角平分线，若C9 .如图，已知 AG BD,AF CE,BD、CE 分别是 Z ABC 和 Z ACB BF=2,ED=3,GC=4，则 ABC 的周长为 . ABC的周长为3010.如图，四边形ABCD的对角线 AC、BD相交于点F,M、N分别为AB、CD中点,MN分别交 BD、AC 于 P、Q,且Z FPQ
5、= Z FQP ,若 BD=10,贝U AC=AC=10 提示：取 AD中点E,连结 ME,NE,则 ME=NE11.如图，在菱形 ABCD中，Z A=100 ,M、N分别是 AB、BC的中点,MP CD于点P,则ZD,NPC的度数为./ NPC =5012.如图，在 ABC中,BC=4,BC边上的中线A.面B,半 C. 2而选择D提示： ABC为直角三角形AD =2, AB+AC=3+寸 7，则 手 abc等于（）14.如图，已知 ABC分别是E、FC是等腰直角三角形， AB = AC, D是斜边BC的中点,15.如图，在 ABC中，/ B = 2Z C, AD BC于D, M为BC的中点,
6、AB = 10cm,则 MD的长为,D【提示】 取AB中点N,为直角斜边中线定理、中位线定理运用创造条件13.如图，正方形 ABCD，正方形 CGEF的边长分别是 2、3,且点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，连接 MF，贝U MF的长为MF =2尾示：连DM并延长交EF于N点，则ADMENM,FN=116.已知，如图a, BD,CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作AF BD, AG CE,垂1足分别为F、G,连结FG,延长AF、AG,与直线BC相交，易证FG = -(AB+BC+AC),若(1)BD,CE分别是 ABC的内角平分线(如图b); (2)BD为乙ABC的内角平分
7、线，CE为乙 ABC的外角平分线(如图c,则在图b、图c两种情况下，线段 FG与/ ABC三边又有怎样【提示】图a中FG与 ABC三边数量关系的求法(关键作辅助线)，对寻求后两图中 FG与 ABC三边数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这时解题基础小 i 一 T Z-解：(1)F G=芬(AB+AC BC),分别延长 AG、AF 交 BC 于 H , K,贝U AF = KF , AB = KB;AG.一 一 11=HG,AC= HC,FG =严=-(AB+AC- BC);- i 一_2TB M C(2)FG = - (BC+AC AB)17.如图，以 ABC的AB、AC边为斜边向
8、外作 RtA ABD和RtAACE , 且使Z ABD = Z ACE , M是BC的中点，求证：DM = ME .D【提示】 显然 DBM不全等与 ECM ,需通过作辅助线， 构造全等三角形，证明 DM = EM.解：取AB中点P,连DP,PM,取AC中点Q,连结QE,QM,则 DP = ；AB,QE= 1AC,PM / /1AC, QM II1 AB . DP = QM,PM = QE22=2=2又Z DPM=Z 1 + Z 2= 2Z DAB + Z BAC,Z MQE =Z 3+Z 4= 2Z EAC+ Z BACZ ADB= / AEC=90 ,/ ABD= / ACE.而ZDAB=
9、ZEAC,.ZDPM=ZEQM,DPMMQE，故DM=ME18.已知： ABD和 ACE都是直角三角形，且/ABD = Z ACE = 90 如图a,连结DE ,设M为DE的中点.(1)求证：MB = MC.解：延长 BM 交 CE 于 N ,由 DBM 丝 NEM , . . BM=MN|MEB图b BCN 为 RtA,得 BM = MN = CM|(2)设 Z BAD = Z CAE，固定 ABD，让 Rt ACE 绕顶点 A在平面内旋转到图 b的位置，试问：MB = MC是否还能成立? 并证明其结论.【提示】M为中点可以构造全等三角形MB=MC仍能成立，取AD中点P,AE中点Q,连结PB
10、、MP、CQ、MQ,易得四边形_ 一 、一一 1 一 _ 1_ _一 _APMQ 为平行四边形， MP = 2AE = CQ, MQ =区AD = BP , Z BPM = Z MQC，由 PBM 丝BDEQMC得MB=MC.19.如图， ABC中，ZB的平分线 BE与BC边的中线 AD垂直, 且BE = AD = 4,求 ABC三边的长.一一A 【提示】 ABD是等腰三角形.解：作DF/BE交AC于F,ABOABOD,AO=OD,AB=BD.1 1 1则 DF =拜，OE = 2DF , OE =产=1, BO= 3,AB=4aO2+BO2=据，AE=7AO2+OE2=点，BC=2BD=j!,得 EC = 2寸5 ,AC = AE+EC =对5
