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1、第3课时一元二次不等式及其解法,考点探究挑战高考,考向瞭望把脉高考,双基研习面对高考,第3课时,双基研习面对高考,1一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表:,x|xx2,x|xx1,x|xR,x|x1xx2,思考感悟 当a0与ax2bxc0的解集如何? 提示:当a0时,可利用不等式的性质将二次项系数化为正数,注意不等号的变化,而后求得方程两根,再利用“大于号取两边,小于号取中间”求解,2用程序框图来描述一元二次不等式ax2bxc0(a0)的求解的算法过程为:,1若集合Ax|(2x1)(x3)0,BxN*|x5,则AB是() A1,2,3B1,2 C4,5 D1,2,3,4,5
2、 答案:B,答案:C,3若a0的解是() Ax5a或xa或x5a C5axa Dax5a 答案:B,4(教材习题改编)已知函数f(x)3x25x2,则使函数值大于0的x的取值范围是_ 5已知(ax1)(x1)0的解集是x|x2,则实数a的值为_,考点探究挑战高考,解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即ax2bxc0(a0),ax2bxc0) (2)计算相应的判别式 (3)当0时,求出相应的一元二次方程的根 (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集,解下列不等式 (1)2x24x30; (2)3x22x80; (3)12x2axa2(aR) 【思路
3、分析】首先将二次项系数转化为正数,再看二次三项式能否因式分解,若能,则可得方程的两根,大于号取两边,小于号取中间;若不能,则再看“”,利用求根公式求解方程的根,而后写出解集,(3)小题中对a要分类讨论,【解】(1) 424230恒成立, 所以不等式2x24x30的解集为R. (2)原不等式可化为3x22x80, 1000,,【规律方法】解含参数的一元二次不等式的步骤: (1)二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 (2)判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系 (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定
4、解集形式,互动探究本例中(3)若变为ax2(2a1)x20,试解该不等式,(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数 (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方,设函数f(x)mx2mx1. (1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围; (2)若对于x1,3,f(x)m5恒成立,求m的取值范围 【思路分析】本题(1)可讨论m的取值,利用判别式来解决对于(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有
5、两种处理方法:法一是利用二次函数区间上的最值来处理法二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理,一般法二比较简单,【误区警示】本题中易出现漏“m0”的情况,原因是对于二次项系数为参数的函数直觉上认定其为二次函数,实际应用问题是新课标中考查的重点,突出了对应用能力的考查,在不等式应用题中常以函数模型出现解题时要理清题意,准确找出其中的不等关系再利用不等式的解法求解,某产品按质量可分成6种不同的档次,若工时不变,每天可生产最低档次的产品40件,如果每提高一个档次,每件利润可增加1元,但每天要少生产2件产品 (1)若最低档次的产品每件利润为16元,则生产哪种档次的产品所得到的利润最大? (2)若最低档
6、次的产品每件利润为22元,则生产哪种档次的产品所得到的利润最大? 【思路分析】生产第x档次产品时,产品的利润生产数量每件利润,表示出产品利润后求利润最大时对应的x值,【解】(1)设生产第x档次产品时,所获利润最大,则生产第x档次产品时,每件利润为16(x1)1(元), 生产第x档次产品时,每天生产402(x1)件, 所以生产第x档次产品时,每天所获利润为: y402(x1)16(x1) 2(x3)2648(元) 当x3时,y最大,即生产第三档次产品利润最大,(2)若最低档次产品每件利润为22元, 则生产第x档次产品时,每天所获利润为: y402(x1)22(x1)2x2882. 因为x 1,6
7、,且x N, 所以当x1时,y最大,即生产第一档次产品利润最大 【规律方法】 不等式应用题一般可按如下四步进行: (1)认真审题、把握关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回归实际问题,方法技巧,1解一元二次不等式时,首先要将一元二次不等式化成标准型,即ax2bxc0或ax2bxc0.(如例1(2) 2一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0)与一元二次方程ax2bxc0的关系 (1)知道一元二次方程ax2bxc0的根可以写出对应不等式的解集;,(2)知道一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0或ax2bxc0的解集,失误防范,1一
8、元二次不等式的界定对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别如:解不等式(xa)(ax1)0,如果a0它实际上是一个一元一次不等式; 只有当a0时它才是一个一元二次不等式 2当判别式0(a0)的解集为R;ax2bxc0)的解集为.二者不要混为一谈,考向瞭望把脉高考,从近几年高考试题分析,不等式的解法是每年高考的必考内容,特别是一元二次不等式,它与一元二次方程、二次函数相联系,三者构成一个统一的整体,贯穿于高中数学的始终解不等式的题目,有时会单独出现在选择题或填空题中,以求定义域或考查集合间关系或直接求解不等式的形式出现,难度不大,属于中低档题,有时会与函数、三角、,解析几何、向量等知识相交汇,作为
9、解题工具出现在解答题中 预测2012年高考,不等式仍将与其他知识交汇进行考查,重点考查学生的计算能力,(2009年高考山东卷)在R上定义运算:abab2ab,则满足x(x2)0的实数x的取值范围为() A(0,2) B(2,1) C(,2)(1,) D(1,2) 【解析】 x (x2)x(x2)2xx20, x2x20. 2x1. 【答案】B 【名师点评】对于这类问题,应紧抓“定义”,转化为一般关系式,从而进行求解,1不等式x(xa1)a的解集是x|xa,则() Aa1 Ba1 DaR 解析:选C.解集为x|xa,a1.,2已知集合Mx|x22010 x20110,Nx|x2axb0,若MNR,MN(2011,2012,则() Aa2011,b2012 Ba2011,b2012 Ca2011,b2012 Da2011,b2012 解析:选D.化简得Mx|x2011, 由MNR,MN(2011,2012可知Nx|1x2012,即1,2012是方程x2axb0的两个根 所以b120122012,a12012,即a2011.,4当x(1,2)时,不等式x2mx40恒成立,则m的取值范围是_,答案:m5,