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1、第9讲函数模型及其应用,考试要求1.指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，A级要求；2.函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用，B级要求.,知 识 梳 理,几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型,(2)指数、对数、幂函数模型性质比较,递增,递增,y轴,x轴,诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”),(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大.( ) (2)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.( ) (3)幂函数增长比直线增长更快.( ) (4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，
2、恒有h(x)f(x)g(x).( ),2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，则下列图象与以上事件吻合得最好的是_(填序号).,解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除.后来为了赶时间加快速度行驶，排除.故符合.,答案,3.(2015南京、盐城模拟)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_.,答案3,4.(2015四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，
3、k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.,答案24,5.(2014北京卷改编) 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟.,答案3.75,考点一二次函数模型,【例1】 A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电
4、费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度.,(1)求x的取值范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？,规律方法在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域之间的位置关系讨论求解.,【训练1】 (2014武汉高三检测)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在
5、两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元.,答案43,考点二指数函数、对数函数模型,【例2】 世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率是_(参考数据lg 20.301 0，100.007 51.017).,答案1.7%,规律方法在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.,【训练2】 某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每
6、次下跌10%)，给出该股民关于这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)：略有盈利；略有亏损；没有盈利也没有亏损.其中说法正确的为_(填序号).,解析设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损.,答案,考点三分段函数模型,(1)写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式； (2)试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？,规律方法(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给
7、出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.,【训练3】 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.,解析若x1 300元，则y5%(1 300800)25(元)30(元)，因此x1 300. 由10%(x1 300)2530，得x1 350(元).,答案1 350,思想方法,解函数应用问题的步骤(四步
8、八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义.,以上过程用框图表示如下：,易错防范,1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯. 2.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系. 3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.,
