《高考数学人教A一轮复习课件22函数的单调性与最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学人教A一轮复习课件22函数的单调性与最值（101页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 函数的单调性与最值,【知识梳理】 1.增函数、减函数,任意,f(x1),f(x2),f(x1),f(x2),2.单调性、单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是_或_,则称函 数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做 函数y=f(x)的单调区间.,增函数,减函数,3.函数的最值,f(x)M,f(x)M,【特别提醒】 1.增函数、减函数定义的变式 设任意x1,x2a,b且x10(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在 a,b上是增函数. (2) 0(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在 a,b上是减函数.,2.函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上
2、的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P39T3改编)函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则() A.m B.m D.m,【解析】选B.使y=(2m-1)x+b在R上是减函数, 则2m-10,即,2.(必修1P31例4改编)函数f(x)= 在2,6上的最 大值和最小值分别是_.,【解析】函数f(x)= 在2,6上 单调递减,所以f(x)min=f(6)= f(x)max=f(2)= 答案:,感悟考题 试一试 3.(2016北京高考)下列函数中,在区间(-
3、1,1)上为减函数的是() A.y= B.y=cosx C.y=ln(x+1)D.y=2-x,【解析】选D.选项A定义域为x|x1,不符合题意; 选项B在(-1,1)上先增后减; 选项C在(-1,1)上增; 只有选项D符合题意.,4.(2016北京高考)已知A(2,5),B(4,1),若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为() A.-1B.3C.7D.8 【解析】选C.线段AB的方程为y=-2x+9(2x4),所以2x-y=4x-97.,5.(2017曲靖模拟)在区间D上,若函数y=f(x)为增函 数,而函数y= 为减函数,则称函数y=f(x)为区间D 上的“弱增”函数.则下列函数
4、中,在区间1,2上不是 “弱增”函数的为() A.g(x)= B.g(x)= C.g(x)=x2+1D.g(x)=x2+4,【解析】选C.对于A, 在区间1,2上为 减函数.对于B, 在区间1,2上为 减函数;对于C, 在区间1,2上为增函数,故 g(x)不是“弱增”函数,对于D, 在区间1,2上为减函数.,考点一判断函数的单调性(区间) 【典例1】(1)(2017黄冈模拟)函数y=f(x)(xR)的图象如图所示,则函数g(x)=f(logax)(0a1)的单调递减区间是(),(2)判断并证明函数f(x)=ax2+ (其中1a3)在x 1,2上的单调性.,【解题导引】(1)根据函数的图象,利用
5、复合函数的单调性的判断方法,确定函数的单调递减区间. (2)利用定义法或导数法进行判断.,【规范解答】(1)选B.由图象知f(x)在(-,0和 上单调递减,而在 上单调递增.又因为当 0a1时,y=logax为(0,+)上的减函数,所以要使g(x) =f(logax)单调递减,需要logax 即0logax 解得x,(2)设1x10,2x1+x24, 1x1x24,又因为10, 从而f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1), 故当a(1,3)时,f(x)在1,2上单调递增.,【一题多解】因为f(x)= 而x1,2,所以 又因为a(1,3),所以20,故当a(1,3)时,f(x)在1,2
6、 上单调递增.,【母题变式】1.若将本例题(1)中的“01”,则函数g(x)的单调递减区间如何? 【解析】由典例1(1)解析知,需logax0或logax 解得x1或x 又因为x0,所以单调递减区间为 (0,1,2.在本例题(1)中,将所求结论改为“若f(x)在a,+) 上是减函数,求a的取值范围”. 【解析】由图象知f(x)在(-,0和 上单调递 减,若f(x)在a,+)上是减函数,则a,+) 所以,【规律方法】 1.求复合函数y=f(g(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).,(3)分别确定这两个函数的单调区间. (4
7、)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x)为增函数;若一增一减,则y=f(g(x)为减函数,即“同增异减”.,2.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是定义区间内的任意两个值,且x1x2. (2)作差、变形:作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1),并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.,(3)定号:确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论. (4)判断:根据定义作出结论.,易错提醒:1.单调区间是定义域的子集,故求单调区间应树立“定义域优先”的原则. 2.单调区间只能用区
8、间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“”连接,也不能用“或”连接.,【变式训练】下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是() A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3x C.f(x)= D.f(x)=-|x|,【解析】选C.当x0时,f(x)=3-x为减函数; 当x 时,f(x)=x2-3x为减函数, 当x 时,f(x)=x2-3x为增函数; 当x(0,+)时,f(x)= 为增函数; 当x(0,+)时,f(x)=-|x|为减函数.,【加固训练】 函数y=x-|1-x|的单调增区间为_. 【解析】y=x-|1-x|= 作出该函数的图象如图所示,由图象可知,
9、该函数的单调增区间是(-,1. 答案:(-,1,考点二求函数的最值(值域) 【典例2】(1)函数y= 的最小值为_. (2)函数y= 的值域为_.,【解题导引】(1)利用换元法求解. (2)采用分离变量法,即将分子变为2(x2-x+1)+1的形式,转化后求解.,【规范解答】(1)令 t0,则x=t2+1, 所以y=t2+t+1= 当t0时,由二次函数的性质可知,当t=0时,ymin=1. 答案:1,(2) 因为x2-x+1= 所以 故值域为 答案:,【一题多解】解答本例题(2),你知道几种解法? 解答本题,还有以下解法: 去分母,整理,得(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0. 当y2时
10、,上式可看成是关于x的二次方程.,若方程有实根,则=-(y-2)2-4(y-2)(y-3)0， 解得 当y=2时,方程无解.所以函数的值域为 答案:,【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误: 题目利用换元法求函数的最小值,易忽视换元后t的取值范围,从而造成求出的函数最小值缩小而致误.,【规律方法】 求函数最值的五种常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.,(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最
11、后结合端点值,求出最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.,【变式训练】用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的最大值是_.,【解析】在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4, y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)= min4x+1,x+4,-x+8的图象,如图所示,由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6. 答案:6,【加固训练】 1.函数f(x)= 的最大值为_.,【解析】当x1时,函数f(x)= 为减函数,所以f(x)在 x=1处取得最大值,为f(1
12、)=1;当x1时,易知函数f(x)= -x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最 大值为2. 答案:2,2.对于任意实数a,b,定义mina,b= 设函数 f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=minf(x),g(x) 的最大值是_.,【解析】依题意,h(x)= 当02时,h(x)=3-x是减函数, 所以h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. 答案:1,考点三函数单调性的应用 【考情快递】,【考题例析】 命题角度1:求函数的单调区间 【典例3】(2017上海模拟)函数y= 的单调增区间是_.,【解题导引】先求函数的定义域,再根据复合函数的单调性“
13、同增异减”进行求解.,【规范解答】函数y= 需满足x2-3x+20, 即函数y= 的定义域为(,12,+), 设u=x2-3x+2,则y= 在(,+)上单调递减,而 u=x2-3x+2在 上单调递减,结合函数的定义域 (,12,+)可知函数y= 的单调增,区间为(,1. 答案:(,1.,命题角度2:比较函数值或自变量的大小 【典例4】(2017衡阳模拟)已知函数f(x)=log2x+ 若x1(1,2),x2(2,+),则() A.f(x1)0 C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0,【解题导引】先判断f(x)的单调性,再应用单调性比较大小. 【规范解答】选B.因为f(x)在(1,+)上是
14、增函数, 且f(2)= 又x1(1,2),所以f(x1)f(2)=0.,命题角度3:求函数的最值或值域 【典例5】函数y=3 的最大值为M,最小值为 N,则M+N=() A.2B.3C.6D.12,【解题导引】被开方数是二次项系数为负的二次函数, 在对称轴处取得最大值,最小值为0. 【规范解答】选C.当x=3时,y= 取最大值6.当x=1或5时,y=3 取最小值0, 故M+N=6.,【典例6】(2016浙江高考)已知a3,函数F(x)= min2|x-1|,x2-2ax+4a-2, 其中minp,q= (1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围. (2)求F(x)的最小
15、值m(a); 求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).,【解题指引】(1)分x1和x1两种情况讨论F(x),进而可得使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围. (2)先求函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2的最小值,再根据F(x)的定义可得F(x)的最小值m(a);分0 x2和2x6两种情况讨论F(x)的最大值,进而可得F(x)在区间0,6上的最大值(a).,【规范解答】(1)由于a3,故 当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1| =x2+2(a-1)(2-x)0, 当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1| =(x-2)(x-2a
16、),所以使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.,(2)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2, 则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即 m(a)=,当0 x2时, F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2), 当2x6时, F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a =maxF(2),F(6). 所以M(a)=,命题角度4:利用单调性解不等式 【典例7】(2017石家庄模拟)已知f(x)= ,则不 等式f(x-2)+f(x2-4)0的解集为() A.(-1,6)B.(-6,1) C.(-2,
