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1、第二课时面面垂直,1.理解面面垂直的定义,并能画出面面垂直的图形 2掌握面面垂直的判定定理及性质定理,并能进行空间垂直的相互转化 3掌握面面垂直的证明方法,并能在几何体中应用,课堂互动讲练,知能优化训练,第二课时,课前自主学案,课前自主学案,直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条_直线垂直,那么这条直线就垂直于这个平面,相交,1两个平面垂直的定义 如果两个相交平面的_垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的_互相垂直,则称这两个平面互相垂直如:平面 、互相垂直,记作_. 两个平面互相垂直是_的特殊情形 画两个互相垂直的平面,把直立平面的_画成和水平面的_垂直,如图(1)和图(
2、2),平面和平面垂直,记作:.,交线与第三个平面,两条交线,两个平面相交,竖边,横边,2两个平面垂直的判定定理 如果一个平面_,那么这两个平面互相垂直,经过另一个平面的一条垂线,已知,l,作直线m,使ml,则m吗? 提示:不一定当m时,m一定垂直,如m,则m与的关系不确定,思考感悟,3两个平面垂直的性质 (1)两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么_的直线垂直于另一个平面. (2)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线_,在一个平面内垂直于它们交线,在第一个平面内,课堂互动讲练,用判定定理或定义法来证明面面垂直,如图,在三棱锥VABC中,VC底面ABC,
3、ACBC,D是AB的中点,且ACBCa,求证:平面VAB平面VCD. 【分析】欲证平面VAB平面VCD,需证AB平面VCD,为此需证VCAB且CDAB.,【证明】因为ACBC,所以ABC是等腰三角形 又D是AB的中点,所以CDAB. 又VC底面ABC,AB底面ABC,所以VCAB. 因为CDVCC,CD平面VCD,VC平面VCD, 所以AB平面VCD. 又AB平面VAB,所以平面VAB平面VCD.,【点评】证明面面垂直需根据面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直此外还可用定义法,即两平面相交,若所成的二面角是直二面角,则这两个平面互相垂直,线线垂直、线面垂直、面面垂直三者
4、进行转化,如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点,求证:BG平面PAD; (2)求证:ADPB.,【分析】利用面面垂直证明线面垂直,关键在于证明该直线与交线垂直,即证BGAD,(2)证明线线垂直可转化为线面垂直,即证AD平面PBG. 【证明】(1)连接PG,BD,由题知PAD为正三角形,G是AD的中点, PGAD.,又平面PAD平面ABCD, PG平面ABCD,PGBG. 又四边形ABCD是菱形且DAB60, ABD为正三角形 BGAD. 又ADPGG,BG平面PAD. (
5、2)由(1)可知BGAD,PGAD. 所以AD平面PBG,所以ADPB.,【点评】证明线面垂直,除利用定义和判定定理外,另一种重要的方法是利用面面垂直的性质定理证明,应用时应注意:(1)两平面垂直;(2)直线必须在一个平面内;(3)直线垂直于交线,跟踪训练2已知平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E点为垂足 (1)求证:PA平面ABC; (2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC是直角三角形,证明:(1)在ABC内取一点D,作DFAC于点F,因为平面PAC平面ABC,且交线为AC, 所以DF平面PAC,又PA平面PAC,所以DFAP.作DGAB于点G,同理可证DGAP.
6、因为DG、DF都在平面ABC内,且DGDFD,所以PA平面ABC.,(2)连接BE并延长,交PC于点H. 因为E是PBC的垂心,所以PCBE. 又已知AE是平面PBC的垂线,所以PCAE. 又BEAEE,所以PC平面ABE.因为AB平面ABE,所以PCAB.又因为PA平面ABC,AB平面ABC,所以PAAB. 又PCPAP,所以AB平面PAC. 又AC平面PAC,所以ABAC, 即ABC是直角三角形,利用线线、线面、面面垂直的相互转化,如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中 ,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1DB1C.求证: (1)EF平面ABC; (2)平面A1FD平面
7、BB1C1C. 【分析】证明面面垂直,在其中一个平面内寻找另一平面的垂线是证明的关键,【证明】(1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点,所以EFBC.又EF平面ABC,BC平面ABC,所以EF平面ABC. (2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,所以BB1平面A1B1C1,BB1A1D,又A1DB1C,所以A1D平面BB1C1C, 又A1D平面A1FD,所以平面A1FD平面BB1C1C. 【点评】注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化,跟踪训练3如图所示,ABC为正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CECA2BD,M是EA的中点求证: (1)DEDA; (2)平面BDM平面ECA; (3)平面DEA平面ECA.,证明:(1)取EC中点F,连接DF, 由EC平面ABC及BDCE, 知ECBC,DB平面ABC. 故DBAB,DBBC,,EC平面ABC,ECBN, 又CABN,ECCAC,BN平面ECA. BN平面BDM,平面BDM平面ECA. (3)由(2)知DMBN,BN平面ECA. DM平面ECA. DM平面DEA,平面DEA平面ECA.,1判定面面垂直的方法主要有:(1)面面垂直的定义(使用较少);(2)面面垂直的判定定理(使用最多)在证明两个平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在现有的图中不存在,则可通过作辅助线来解决,