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1、第二课时直线与平面垂直及直线与平面所成的角,学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义与判定定理及性质定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直； 2知道直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题,课堂互动讲练,知能优化训练,第二课时直线与平面垂直及直线与平面所成的角,课前自主学案,课前自主学案,1直线与平面的位置关系：_、_、_ 2两条异面直线所成的角为_时，两直线垂直,线在面内,线面平行,线面相交,90,1直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面内的_直线都_，就说直线l与平面互相垂直.,任意一条,垂直,1.若一条直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直吗？为什么？
2、提示：不一定垂直例如，a1a2a3，且a1，a2，l与这组平行直线垂直，有可能直线l在这个平面内,思考感悟 (2)判定定理 文字表述：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直,a，b,abP,相交,2定理中若去掉abP，结论还成立吗？ 提示：不一定，如图正方体中，a，b，la，lb，但l，故定理中的“两条相交直线”是不可缺少的条件,(3)直线与平面垂直的性质定理,平行,ab,2.距离 (1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和_间的距离，叫做这个点到这个平面的距离 (2)直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上_到这个平面的距离，叫做这条直线和这个
3、平面的距离,垂足,任意一点,3直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角,射影,锐角,如图，_就是斜线AP与平面所成的角 (2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是_ (3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是_. (4)线面角的范围是_.,PAO,直角,0,090,课堂互动讲练,应用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，是证明直线与平面垂直的最主要方法充分利用条件寻找平面中的两条相交直线与已知直线垂直是问题得到解决的关键在题目中若没有现成的垂线，则作相应的辅助线来帮助解决,如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为
4、DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O平面PAC.,【思路点拨】要证B1O平面PAC，只需证B1O垂直于平面PAC中的两条相交直线,【名师点评】利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：在这个平面内找两条直线，使它们和已知直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论,变式训练1如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AESB，AGSD.,线面垂直的性质定理的实质是实现了由线面垂直向线线垂直的转化,(本题满分14分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1
5、D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证： (1)MNAD1； (2)M是AB的中点 【思路点拨】对于(1)要证明线线平行， 要先证线面垂直，即证AD1平面A1DC.对于(2)可利用平行的传递性加以证明,【名师点评】若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质,变式训练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EA1D，FAC，且EFA1D，EFAC. 求证：EFBD1.,求直线与平面所成的角，关键是找到直线在该平面内的射影，继而构成一个
6、三角形，求角的大小,【思路点拨】首先应想到A，B两点与平面的位置关系有两种情形：A，B位于的同侧；A，B位于的异侧，应按这两种情形来解答直线AB与平面所成角的大小,当点A，B位于平面的异侧时，如图，由点A，B分别向平面作垂线，垂足分别为A1，B1.AB与A1B1交于点C，A1B1为AB在平面内的射影所以BCB1或ACA1为直线AB与平面所成的角在RtBCB1中，BB12，,【名师点评】(1)根据问题的具体情况，想到问题可能出现的各种情况，然后分类处理(2)求直线与平面所成的角，一般是先定斜足，再作垂线找射影，最后通过解直角三角形求解(3)寻找斜线在平面内的射影是解决斜线和平面所成角问题的关键,
7、变式训练3已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为_,1线线垂直、线面垂直是立体几何的核心内容之一由线线垂直可判定线面垂直，由线面垂直又可判定出线线垂直，这种“线线线面线线”之间的垂直关系的相互转化，是线线、线面垂直关系的判定的实质，也是我们运用定理对垂直进行证明的关键所在,2当我们学习了直线和平面平行、直线和平面垂直之后，解决大量的线线平行和线线垂直就有了新方法在应用过程中我们又发现，线面关系作为中间步骤起传递作用，解决问题时，我们要学会找平面为媒介另外，我们还可以采用分析法，转换证明角度 3证明线线垂直的方法，常结合具体的几何图形，如构建出直角三角形，矩形，等腰三角形等在具体的几何图形中，可根据所给条件进行判断，选取合适的证明途径,
