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1、第 7 章,位 移 法,FP,B,A,B,选择基本未知量,物理条件,几何条件,平衡条件,变形条件,7-1 位移法的基本概念,1、关于位移法的简例, 位移法的基本未知量 是结构的独立结点位移（B 结点的竖向位移）。, 位移法的基本方程 是用位移表示的平衡方程（B 结点的竖向投影平衡 方程式）。,第一步，把结构拆散成杆件，进行杆件分析，得到杆件的刚度方程。,位移法的要点如下：,将图中尺寸代入，设各杆 EA 相同，可得, 建立基本方程的过程分两步：,第二步，再把杆件集合成结构，进行整体分析，得出基本方程。, 杆件分析是结构分析的基础，杆件刚度方程是位移法基本方程的基础。,用位移法计算刚架，结点位移仍
2、是处于关键地位的未知量。,2、位移法计算刚架的基本思路,位移法的基本作法：先拆散，后组装。, 把结构拆成杆件，进行杆件分析杆件在巳知端点位移和巳知荷载作用下的计算。, 把杆件组装成刚架，进行整体分析利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量。,7-2 等截面杆件的刚度方程,一、由杆端位移求杆端弯矩, 由杆端弯矩 MAB 和 MBA 引起的 A和B 。,如图示等截面杆件AB，EI=常数。已知端点A和B的角位移分别A ,B ，两端垂直杆轴的相对位移为。 拟求 杆端弯矩MAB 和MBA 。,杆端力和杆端位移的正负规定： 杆端转角A ,B ，以顺时针为正。 杆端弯矩 MAB 和 MBA
3、 ，对杆端以顺时针方向为正，对结点或支座以逆时针方向为正。,利用单位荷载法可求得,以上两过程的叠加,要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：,利用单位荷载法同理可求得,设:, 由于相对线位移引起的A和B,由平衡条件求杆端剪力FQAB 和FQBA ：,将上式写成 矩阵形式：,弯曲杆件刚度矩阵,刚度矩阵中的系数称为刚度系数，刚度系数是只与杆件尺寸和材料性质有关的常数，又称为形常数。,用力法求解单跨超静定梁,令,几种不同远端支座的刚度方程, 远端为固定支座,因B = 0，代入(1)式可得, 远端为固定铰支座,因MBA = 0，代入(1)式可得, 远端为滑动支座,因,代入（2）式可得,4i,2i,0
4、,3i,0,i,- i,0,单跨超静定梁由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。,二、由荷载求固端弯矩和剪力,单跨超静定杆在荷载作用下的杆端弯矩和剪力称为固端弯矩和固端剪力，因为它们是只与常数有关的常数，又称为载常数。P281表7-1。,三、在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：,将两过程的叠加,引用前述的刚度方程：,（转角位移方程）, 两端为固定的杆件, 一端固定另一端铰支的杆件：,增加荷载共同作用，叠加可得：,引用前述的刚度方程：, 一端固定另一端滑动支承的杆件：,7-3 无侧移刚架的计算,如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。,1、基本未知
5、量B,2、固端弯矩,3、列杆端转角位移方程,设:,4、位移法基本方程（平衡条件）,5、各杆端弯矩及弯矩图,M图（kN m）,位移法的基本作法：先拆散，后组装。,组装的原则： 在结点处各杆件的变形协调一致（变形连续条件） 组装好的结点要满足平衡条件，列出位移法基本方程。,例7-1、试用位移法分析图示刚架。,（1）基本未知量 B、 C,（2）杆端弯矩Mi j,计算线性刚度i，设EI 0=1，则,(4) 解方程,(相对值),(5) 杆端弯矩及弯矩图,A,B,C,D,F,E,46.9,24.5,1.7,9.8,4.89,M图 (kNm),(3) 位移法方程,小 结,1、有几个未知结点位移就应建立几个平
6、衡方程；,2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；,3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。,1、基本未知量的选取,7-4 有侧移刚架的计算, 基本未知量中，包括结点线位移（铰结点、铰支座的转角，定向支座的侧移不作为基本未知量）。 杆件刚度（转角位移）方程中要考虑线位移的影响。 在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。,刚架中除有刚结点转角外，还有结点线位移，称为有侧移刚架。,计算的思路与无侧移刚架基本相同，但在具体作法上增加一些新内容：,结构独立线位移：,为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：,结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法的结点角位移数。,
7、 忽略轴向力产生的轴向变形-变形后的曲杆与原直杆等长；, 变形后的曲杆长度与其弦等长。,上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。,如何确定结构的独立线位移?, 用观察的方法判定：, 用几何构造分析的方法确定：,将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。,2、基本方程的建立,用位移法分析图示刚架：,解： 基本未知量B、。, 单元分析：由转角位移方程, 位移法方程：,如何求杆端剪力?,求剪力的通用公式：,简支杆上荷载作用的剪力,杆端弯
8、矩作用的剪力, 解位移法方程：, 求杆端弯矩，作弯矩图。,= -13.896 kNm,MBA = - 4.422 kNm,MBC = 4.422 kNm,MDC = -5.685 kNm,13.896,4.422,4.422,5.685,M图（kNm）,1.42,0.553,FQ图（kN）, 求杆端剪力，作剪力图。,练习1：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。, 单元分析：, 位移法方程及求解：,求剪力的通用公式：, 求杆端弯矩，作弯矩图。,解： 基本未知量：,例7-2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。, 各柱的杆端弯矩和剪力：, 位移法方程,解： 基本未知量：,各柱的线刚度：,结点荷
9、载FP 作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度的比例分配给各柱，得各柱剪力，即可作出弯矩图。, 杆端弯矩和剪力：, 根据杆端弯矩作M图。, 讨论：,M图,各柱柱顶剪力 与 ( 称为排架柱的侧移刚度)成正比。根据这一性质，可用下述方法求此排架的内力：,剪力分配法,练习2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的变形。, 单元分析：, 位移法方程及求解：,求剪力的通用公式：,解： 基本未知量：, 求杆端弯矩，作弯矩图。,例7-3. 用位移法分析图示刚架,基本未知量为：,基本未知量为：,练习3：用位移法分析图示刚架。(思路),7-5 位移法的基本体系,超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系，然后让基
10、本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。,力法的特点： 基本未知量 多余未知力； 基本体系 静定结构； 基本方程 位移条件 （变形协调条件）,位移法的特点： 基本未知量 基本体系 基本方程 ,独立结点位移,平衡条件,？,一组单跨超静定梁,通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的解法,试用位移法的基本体系分析图示刚架：,解： 基本未知量 1、 2 。,位移法的基本体系,基本结构, 位移法的基本体系：,基本体系增加了与基本未知量相应的人为约束，从而使基本未知量由被动的位移变成受人工控制的位移。, 建立基本方程,基本体系是用来计算原结构的工具或桥梁。加了人工控制的约束之后原结构被分隔成若干杆件
11、( 这些杆件各自单独变形，且已知其转角位移方程 )。,基本体系,实现位移状态可分两步完成：, 控制附加约束，使结点位移1 和2 全部为零，这时基本结构处于锁住状态，施加荷载后，可求出基本结构中的内力，同时附加约束上产生附加约束力F1P 和F2P 。, 再控制附加约束，使基本结构发生结点位移1 和2 ，这时附加约束中的约束力F 1 和F 2 将随之改变。 如果控制结点位移1 和2 与原结构的实际结点位移值相等，则约束力F 1 和F 2 完全消失。,基本体系转化为原结构的条件 ：,基本结构在给定荷载及结点位移1 和2 共同作用下，在附加约束中产生的总约束力F 1 和F 2 应等于零。 即建立位移法
12、基本方程的条件：,F11+F12+F1P= 0 (1a),F21+F22+F2P= 0 (2a),基本体系,利用叠加原理，把基本体系中的总约束力F 1 和F 2 分解为几种情况分别计算：,荷载单独作用,1 = 1单独作用,2 = 1单独作用,叠加原理以上结果，则基本体系中的总约束力F 1 和F 2 为：,=1,k11,k21,=1,k12,k22,k11=10i,k21= -1.5i,k12= -1.5i,位移法方程：, 绘制弯矩图,1.4,M ( kNm ), 计算结点位移,k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P= 0,k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P= 0, ,kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP= 0,具有n个独立结点位移的超静定结构：,位移法典型方程的物理意义：结点附加约束的反力之和等于零，所以方程右端恒等于零。位移法典型方程也是平衡方程。,刚度矩阵中的系数称为刚度系数：,对称方阵,主系数,副系数,约束的地点,产生反力的原因,
