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1、河南省商丘市第一高级中学2018-2019 学年高一下学期期末考试试题 数学（理） 一选择题 :( 本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 ) 1. 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确 的是（ ） A平均数是3 B方差是2 C极差是4 D 中位数是4 2. 585sin( ) A 2 1 B 2 1 C 2 2 D 2 2 3. 已知向量)0,2(), 1(mbma. 若)(baa，则m（） A0 B1 C1 D2 4. 在5 ,3, 1和4,2两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是（） A
2、2 1 B 3 1 C 4 1 D 6 1 5. 已知直线ml,和平面,，且l，/m，下列说法正确的是（） A若，则ml B若，则ml / C若ml，则/ D若ml /，则 6. 在ABC中，角CBA,所对的边分别是cba,，若BcCbasincos，则角 B （） A 6 B 4 C 12 5 D 3 2 7要得到函数sin 2yx的图象，只需将函数) 6 2cos( xy的图象（） A向右平移 3 个单位长度 B向左平移 3 个单位长度 C向右平移 3 2 个单位长度 D向左平移 3 2 个单位长度 8已知函数 xx xx xf ,lg ,|,sin|2 )(， 54321 ,xxxxx是
3、方程mxf)(的五个不相等的实根，则 54321 xxxxx的取值范围为（） A),0( B),( C)1 ,(lg D)100,( 9. 在数列 n a中，82a，2 5 a，且 nnn aaa 21 2， （ * Nn） ，则| 1021 aaa的值是 （） A10 B10 C50 D70 10. 在ABC中，角CBA,所对的边分别是cba,，且直线0coscosBAybx与 AByaxcoscos0平行，则ABC一定是（） A锐角三角形 B 等腰三角形 C直角三角形 D等腰或直角三角形 11. 已知平面向量PA，PB满足1|PBPA， 2 1 PBPA，若3|BC，则| AC的最大值为
4、（） A15 B32 C12 D13 12. 已知函数)0,0)(sin(2)(xxf，2) 8 (f，0) 2 (f，且)(xf在),0(上单 调，下列说法正确的是（） A 2 1 B函数)(xf在 2 ,上单调递增 C 2 26 ) 8 (f D函数)(xfy的图象关于点)0, 4 3 ( 对称 第卷（非选择题共 90 分） 二填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分） 13. 已知函数)sin()(xxf)(Rx是偶函数，则cos 14. 在棱长为2的正方体内随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都大于1的概率为 _. 15. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂
5、分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为 几何问题加以解决，如： 22 )()(byax可以转化为平面上点),(yxM与点),(baN的距离 . 结合上 述观点，若1)2()1( 1222 dc b a ，则 22 )()(dbca的最小值是 16. 设ABC重心为G，,ABC的对边分别为, ,a b c，若0 2 1 3 2 GCcGBbGAa，若2a， 则ABC的面积为 _ 三、解答题：(本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. （本小题满分10 分） 设函数 2 1 )(sincos) 2 cos()( 2 xxxxf . （1）求函数)(x
6、f的最小正周期和单调递增区间； （2）若1 10 23 )(f，且) 8 3 , 8 (，求) 8 (f的值 . 18. （本小题满分12 分） 已知数列 na是等差数列， 1 1 a，1 2 a，13 3a. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 1 nn n aa b，求数列 n b的前n项和 n T. 19. （本小题满分12 分） 2019年“五一”期间， 高速公路车辆较多. 某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的 先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速 （tkm/）分成六段：60,65),)70,6570,
7、75),75,80), 80,85), 85,90)后得到如下图所示的频率分 布直方图 （1）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速的估计值； （2）若从车速在60,70)的车辆中任意抽取2辆，求车速在65,70)的车辆至少有一辆的概率 20. （本小题满分12 分） 在ABC中，已知内角CBA,的对边分别为cba,，且AC 2 1 . （1）若ABC为锐角三角形，求 a c 的取值范围； （2）若 8 1 cos A，20ca，求b的值 . 21. （本小题满分12 分） 在平面直角坐标系xOy中，点)3 ,0(A，直线l：42xy，设圆C的半径为 1，圆心在 l上. （1）若圆心C也在直线
8、1xy上，过点 A作圆C的切线，求切线方程； （2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围 . 22. （本小题满分12 分） 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 y（单位：千件）与当月销售价 x（单位：元 / 件）之间的关 系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下表： （1）统计学中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r 1 ,75.0，则认为相关性 很强；若)75.0 ,3.0| r，则认为相关性一般；若25.0,0| r，则认为相关性较弱. 请计算相关系数r， 并说明 y与x之间的线性相关关系的强弱（精确到01.0 ） ； （2）求 y关于x
9、的线性回归方程； （3）根据（ 2）中的线性回归方程，估计当售价x定为多少时，月销售金额最大？ （月销售金额=月销售量当月售价） 附注：参考数据：85.12165. 参考公式：相关系数 n i i n i i n i ii yyxx yyxx r 1 2 1 2 1 )()( )( ， x5 6 7 8 9 y8 6 4.5 3.5 3 线性回归方程axby? ? ?中， n i i n i ii xx yyxx b 1 2 1 )( ? ，xbya ? ?. 一选择题 （每小题5 分，共 60 分） 1 4DDBC 58 DBAD 912BCBB 二填空题 （每小题5 分，共 20 分） 1
10、3. 0 14. 6 1 15. 1 5 53 16. 4 153 三解答题 17. 解析：（1）因为1) 4 2sin( 2 2 1)2cos2(sin 2 1 2 1 sincossin)( 2 xxxxxxxf， 2 分 所以)(xf的最小正周期为 2 2 T. 3 分 由Zkkxk, 2 2 4 2 2 2，得Zkkxk, 88 3 ， 4 分 所以函数)(xf的单调增区间为 8 , 8 3 kk,Zk. 5 分 （2）因为1 10 23 1) 4 2sin( 2 2 )(f，所以 5 3 ) 4 2sin(. 6 分 由) 8 3 , 8 (，知), 2 ( 4 2，所以 5 4 )
11、 4 2cos(. 7 分 所以1 4 ) 4 2sin( 2 2 1 4 ) 8 (2sin 2 2 ) 8 (f 8 分 10 3 1) 2 2 5 4 2 2 5 3 ( 2 2 1 4 sin) 4 2cos( 4 cos) 4 2sin( 2 2 . 10 分 18. 解析 : （1）设等差数列 n a的公差为d，则)1()13(1)1(d， 2 分 解得d2，4 分 又1 1 a，所以122)1(1nnan ， 所以数列 n a的通项公式为：)(12 * Nnnan6 分 （2）) ) 12( 1 )12( 1 ( 2 1 ) 12)(12( 11 1 nnnnaa b nn n
12、8 分 ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 7 1 5 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn Tn 12 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1( 2 1 n n nnn 12 分 19 解： （1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 2 分 这40辆小型车辆的平均车速为： 77 40 5.8745.82105 .77125.7285.6745.622 （tkm/）5 分 （2）从图中可知，车速在60,65)的车辆数为： 1 0.015402m（辆）6 分 车速在65
13、,70)的车辆数为： 2 0.025404m （辆）7 分 设车速在60,65)的车辆设为,a b，车速在65,70)的车辆设为, ,c d e f，则所有基本事件有： ( , ),(, ),(,),(, ),(,) ( , ),( , ),(, ),( ,) ( ,),( , ),( ,) ( , ),(,) ( ,) a ba ca da ea f b cb db eb f c dc ec f d ed f e f 共 15 种 9 分 其中车速在65,70)的车辆至少有一辆的事件有： ( , ),(, ),(, ),(,),( , ),( ,),( , ),( ,) ( ,),( , )
14、,( ,),(, ),(,),( ,) a ca da ea fb cb db eb f c dc ec fd ed fe f 共 14 种 11 分 所以，车速在65,70)的车辆至少有一辆的概率为 14 15 P. 12 分 20. 解析：（1）由AC 2 1 知，CA2，在ABC中，CCAB3)(. 由ABC为锐角三角形 2 0 2 0 2 0 C B A 46 2 0 2 30 2 20 C C C C ， 3 分 由正弦定理知：), 2 1 , 3 1 ( cos2 1 2sin sin sin sin CC C A C a c 所以 a c 的取值范围是) 2 2 , 3 3 (.
15、 6 分 （2）由（ 1）知 Ca c cos2 1 ，又),0(A，) 2 ,0( 2 A C， 4 3 2 cos1 2 coscos AA C， 3 2 a c 与20ca联立解得8,12 ca. 9 分 由余弦定理Abccbacos2 222 ，得 8 1 82812 222 bb， 化简得：,0802 2 bb解得8b或10b，负的舍去 .10b. 12 分 21. 解析：（1）由题意，圆心C是直线42xy与1xy的交点，解得点)2, 3(C， 1 分 设圆C的切线方程为3kxy，由题意，1 1 |233| 2 k k ，3 分 解得0k或 4 3 . 4 分 故所求切线方程为3y或01243yx. 5 分 （2）圆心在直线42xy上，圆C的方程为1)2(2)( 22 ayax， 设),(yxM，MOMA2， 2222 2)3(yxyx， 整理得：4)1( 22 yx 8 分 点M在以)1,0(D为圆心， 2 为半径的圆上，由题意，),(yxM在圆C上， 圆C与圆D有公共点，则12|12|CD，即3)32(1 22 aa， 10 分 0125 08125 2 2 aa aa ， 5 12 0a，11 分 所以点C的横坐标a的取值范围为 5 12 ,0. 12 分 22 解析：（1）由表
