《2018版高中数学三角函数1.6三角函数模型的简单应用导学案新人教A版必修4含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学三角函数1.6三角函数模型的简单应用导学案新人教A版必修4含解析（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.6 三角函数模型的简单应用 学习目标1. 会用三角函数解决一些简单的实际问题.2. 体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型. 知识点利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人 的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化. 思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 答案三角函数模型. 梳理(1) 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意. 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已 知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收
2、集、整理数据，建立数学模型. 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关 系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现 实际问题的数学化. 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. (2) 三角函数模型的建立程序 如图所示： 类型一三角函数模型在物理中的应用 例 1 已知电流I与时间t的关系为IAsin(t). (1) 如图所示的是IAsin(t)(0，| 2 ) 在一个周期内的图象，根据图中数据 求IAsin(t) 的解析式； (2) 如果t在任意一段 1
3、150的时间内，电流 IAsin(t) 都能取得最大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？ 解(1) 由图可知A300，设t1 1 900， t2 1 180， 则周期T2(t2t1) 2 1 180 1 900 1 75. 2 T 150. 又当t 1 180时， I0，即 sin150 1 180 0， 而|0) ， 300942，又 N *， 故所求最小正整数943. 反思与感悟此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图 是数形结合的有效途径. 跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位 置的位移S( 单位： cm)与时间
4、t( 单位： s) 的函数关系是S6sin(2 t 6 ). (1) 画出它的图象； (2) 回答以下问题： 小球开始摆动( 即t0)，离开平衡位置是多少？ 小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ 小球来回摆动一次需要多少时间？ 解(1) 周期T 2 2 1(s). 列表： t 0 1 6 5 12 2 3 11 12 1 2t 6 6 2 3 2 22 6 6si n(2t 6 ) 360603 描点画图： (2) 小球开始摆动( 即t 0) ，离开平衡位置为3 cm. 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. 小球来回摆动一次需要1 s( 即周期 ). 类型二三角函数模型在生活中的
5、应用 例 2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108 米，直径长是98 米，匀速旋转一圈需要18 分 钟. 如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么： (1) 当此人第四次距离地面 69 2 米时用了多少分钟？ (2) 当此人距离地面不低于(59 49 2 3) 米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有 多少分钟可以看到游乐园的全貌？ 解(1) 如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米，则 2 18 t 9 t. 由y108 98 2 98 2 cos 9 t 49cos 9 t59(t0). 令 49cos 9 t59 69 2 ，得 cos 9 t 1 2
6、， 9 t2k 3 ， 故t18k3，k Z，故t3，15，21，33. 故当此人第四次距离地面 69 2 米时用了33 分钟 . (2) 由题意得 49cos 9 t5959 49 2 3， 即 cos 9 t 3 2 . 故不妨在第一个周期内求即可， 所以 5 6 9 t7 6 ，解得 15 2 t21 2 ， 故 21 2 15 2 3. 因此摩天轮旋转一圈中有3 分钟可以看到游乐园的全貌. 反思与感悟解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1) 认真 审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2) 建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3) 利用三角函数的有关知识解
7、决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4) 根据实际问题 的意义，得出实际问题的解；(5) 将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m 处，如果此摩 天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处( 点P与摩天轮中心高度 相同 ) 时开始计时 . (1) 求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2) 在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 解(1) 设在ts 时，摩天轮上某人在高hm处. 这时此人所转过的角为 2 30 t 15 t，故在t s 时，此人相对于地面
8、的高度为h10sin 15t 12(t0). (2) 由 10sin 15t 1217，得sin 15t 1 2， 则 5 2 t 25 2 . 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m. 1. 一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm) 与时间t(s) 的函数关系式为s3cos g l t 3 ，其中g是重力加速度，当小球摆动 的周期是1 s 时，线长l _ cm. 答案 g 4 2 解析T 2 g l 1， g l 2，l g 4 2. 2. 某城市一年中12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos 6 x6 (x
9、1，2，3， 12) 来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28， 12月份的月平均气 温最低，为18，则 10 月份的平均气温为 _. 答案20.5 解析由题意可知A28 18 2 5，a 28 18 2 23，从而y5cos 6 x 6 23. 故 10 月份 的平均气温值为 y5cos 6 4 2320.5. 3. 一个单摆的平面图如图. 设小球偏离铅锤方向的角为(rad) ，并规定当小球在铅锤方向 右侧时为正角，左侧时为负角 .作为时间t(s) 的函数，近似满足关系式 Asin(t 2 ) ，其中0. 已知小球在初始位置( 即t0) 时， 3 ，且每经过 s 小球 回到初始位置，那么A
10、_；关于t的函数解析式是_. 答案 3 3 sin(2t 2 ) ，t0 ，) 解析当t0 时， 3 ， 3 Asin 2 ，A 3 . 又周期T， 2 ，解得2. 故所求的函数解析式是 3 sin(2t 2 ) ，t0 ， ). 4. 某实验室一天的温度(单位： ) 随时间t( 单位： h) 的变化近似满足函数关系： f(t) 102sin( 12t 3 ) ，t0 ， 24). (1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？ 解(1) 因为f(t) 102sin( 12t 3 ) ， 又 0t24， 所以 3 12t 3 11 时实验室
11、需要降温. 由(1) 得f(t) 102sin( 12t 3 ) ， 故有 102sin( 12t 3 )11， 即 sin( 12t 3 ) 1 2. 又 0t24，因此 7 6 12t 3 11 6 ， 即 10t0，0， | 2 时，BON 2 ，hOABN3030sin( 2 ) ，当 00，0)的图象如图所 示，则当t 1 50秒时，电流强度是 _安. 答案5 解析由图象可知A10， 周期T2( 4 300 1 300) 1 50， 2 T 100，I10sin(100 t 6 ) ， 当t 1 50秒时， I10sin(2 6 ) 5( 安). 9. 设某人的血压满足函数式p(t)
12、 11525sin(160 t) ，其中p(t) 为血压 (mmHg)，t为时间 (min) ，则此人每分钟心跳的次数是_. 答案80 解析T 2 160 1 80( 分) ， f 1 T 80( 次/ 分). 10. 下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天 024 时的变化情况，则水 面高度h关于时间t的函数解析式为_. 答案h 6sin 6 t，t0 ， 24 解析根据题图设hAsin(t) ，则A6，T12， 2 12， 6 . 点 (6， 0) 为 “五点”作图法中的第一点， 6 60，h6sin( 6 t) 6sin 6 t，t0 ， 24. 11. 某时钟的秒针端
13、点A到中心点O的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时， 点A与钟面上标12 的点B重合，将A、B两点的距离d(cm) 表示成t(s) 的函数，则d _，其中t0 ， 60. 答案10sin t 60 解析将解析式可写为dAsin(t) 的形式，由题意易知A10，当t0时，d0，得 0；当t30 时，d10， 可得 60，所以 d 10sin t 60 . 12. 设偶函数f(x) Asin(x)(A0，0，0) 的部分图象如图所示，KLM为等 腰直角三角形，KML90，KL1，则f( 1 6) 的值为 _. 答案 3 4 解析取K，L的中点N，则MN1 2， 因此A 1 2.
14、由 T2 得. 函数为偶函数，0， 2 ， f(x) 1 2cos x，f( 1 6) 1 2cos 6 3 4 . 三、解答题 13. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5 圈，如 果当水轮上点P从水中浮现时( 图中点P0) 开始计算时间. (1) 将点P距离水面的高度z(m) 表示为时间t(s) 的函数； (2) 点P第一次到达最高点大约需要多少时间？ 解(1) 如图所示建立直角坐标系，设角 2 0 是以Ox为始边，OP0为终边的角 . OP每秒钟内所转过的角为 52 60 6 ， 则OP在时间t(s) 内所转过的角为 6 t. 由题意可知水轮逆时针
15、转动， 得z4sin 6 t2. 当t0 时，z0，得 sin 1 2，即 6 . 故所求的函数关系式为z 4sin 6 t 6 2. (2) 令z4sin 6 t 6 26， 得 sin 6 t 6 1， 令 6 t 6 2 ，得t4， 故点P第一次到达最高点大约需要4 s. 四、探究与拓展 14. 有一冲击波，其波形为函数y sin x 2 的图象，若其在区间0 ，t 上至少有 2个波峰， 则正整数t的最小值是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案C 15. 如图所示，某地夏天从814 时的用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x) b(0 2 ). (1) 求这一天的最大用电量及最小用电量； (2) 写出这段曲线的函数解析式. 解(1) 最大用电量为50 万 kW h， 最小用电量为30 万 kW h. (2) 观察图象可知从814 时的图象是yAsin(x) b的半个周期的图象， A1 2(50 30)10，b 1 2(50 30) 40. 1 2 2 148， 6 . y10sin 6 x40. 将x8，y 30 代入上式， 又0 2 ， 6 . 所求解析式为y
