《2018版高中数学平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义二导学案新人教A版必修4含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义二导学案新人教A版必修4含解析（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二) 学习目标1. 掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2. 会利用向量数量积的有关运算 律进行计算或证明. 知识点一平面向量数量积的运算律 类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确. 运算律实数乘法向量数量积判断正误 交换律abba abba正确 结合律(ab)ca(bc) (ab)c a(bc) 错误 分配律(ab)cacbc (ab) c acbc 正确 消去律abbc(b0) ?ac ab bc(b0) ?ac 错误 知识点二平面向量数量积的运算性质 类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
2、多项式乘法向量数量积 (ab) 2 a 22ab b 2 (ab) 2a22a bb 2 (ab) 2 a 2 2abb 2 (ab) 2a22a bb 2 (ab)(ab) a 2 b 2 (ab) (ab)a 2 b 2 (abc) 2 a 2 b 2 c 22ab2bc2ca (abc) 2 a 2 b 2c2 2ab2bc2ca 类型一向量数量积的运算性质 例1 给出下列结论：若a0，ab 0，则b 0；若abbc，则ac； (ab)ca(bc) ；ab(ac) c(ab) 0，其中正确结论的序号是_. 答案 解析因为两个非零向量a、b垂直时，ab 0，故不正确； 当a0，bc时，ab
3、bc0，但不能得出ac，故不正确； 向量 (ab)c与c共线，a(bc) 与a共线，故不正确； ab(ac) c(ab) (ab)(ac) (ac)(ab) 0，故正确 . 反思与感悟向量的数量积ab与实数a、b的乘积ab有联系，同时有许多不同之处. 例 如，由ab0 并不能得出a0 或b0. 特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： (ab) c (ca) b0； (bc) a (ca) b不与c垂直； (3a2b) (3a2b) 9|a| 24| b| 2. 其中正确的是_.( 填序号 ) 答案 解析(ab) c表示与向量c共线
4、的向量，(ca) b表示与向量b共线的向量，而b，c 不共线，所以错误；由(bc) a (ca) b c0 知， (bc) a(ca) b与c 垂直，故错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以正确. 类型二平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1 已知向量垂直求参数值 例2 已知两个单位向量a，b的夹角为60，ct a (1 t) b，且bc，则t _. 答案2 解析由题意，将bct a(1 t)b b整理，得t ab(1 t) 0，又ab 1 2，所 以t2. 反思与感悟由两向量垂直求参数一般是利用性质：ab?ab0. 跟踪训练2 已知向量a(k，3)，b (1 ，4) ，c(2，1)
5、，且 (2a3b) c，则实数k等于 ( ) A.9 2 B.0 C.3 D. 15 2 答案C 解析因为a(k，3) ，b(1 ，4) ， 所以 2a3b2(k，3) 3(1 ，4) (2k3， 6). 因为 (2a3b) c， 所以 (2a3b) c(2k3，6)(2， 1) 2(2k 3) 6 0， 解得k3. 故选 C. 命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围 例 3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，则 k的取值范围为 _. 答案(0 ，1)(1，) 解析e1ke2与ke1e2的夹角为锐角， (e1ke2) (ke1e2)
6、ke 2 1ke 2 2(k 21) e1e2 2k0，k0. 但当k1 时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围为k0 且k1. 反思与感悟由两向量夹角的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于 非零向量a，b，0 ， 2 ) ?ab0，( 2 ， ?ab0. 跟踪训练 3 设两个向量e1，e2满足 |e1| 2，|e2| 1，e1，e2的夹角为 60，若向量2t e1 7e2与e1t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围 . 解设向量 2te17e2与e1t e2的夹角为. 根据题意，得cos 2te17e2e1t e2 |2t e17e2
7、|e1t e2| 0， (2t e17e2) (e1t e2)0. 化简，得2t 2 15t 70，解得 7t 1 2. 当 时，也有 (2te17e2) (e1t e2)0，但此时夹角不是钝角. 设 2t e1 7e2(e1t e2) ，0， 则 2t， 7t， 0， 14， t 14 2 . 实数t的取值范围是(7， 14 2 ) ( 14 2 ， 1 2). 1. 下面给出的关系式中正确的个数是( ) 0a 0；abba；a 2 | a| 2；| ab| ab；(ab) 2 a 2b2. A.1 B.2 C.3 D.4 答案C 解析正确，错误，错误，(ab) 2 (| a|b| cos
8、) 2 a 2 b 2cos2 ，故选 C. 2. 已知 |a| 1，|b| 2，且 (ab) 与a垂直，则a与b的夹角是 ( ) A.60 B.30 C.135 D.45 答案C 解析(ab) aa 2 ab0， aba 2 1， cosa，b ab |a|b| 1 12 2 2 . a，b135. 3. 已知平面向量a，b满足 |a| 3，|b| 2，a与b的夹角为 60，若 (am b) a，则实数m 的值为 ( ) A.1 B.0 C.2 D.3 答案D 解析由题意得 (am b) a0，a 2m a b， m |a| 2 ab |a| 2 |a|b|cos 60 3 2 1 2 3，
9、故选 D. 4. 已知正三角形ABC的边长为1，设AB c，BC a，CA b，那么abbcca的值是 ( ) A. 3 2 B. 1 2 C.3 2 D. 1 2 答案C 解析abc0，(abc) 20， 即|a| 2| b| 2 | c| 22( abbcca) 0， 3 2(abbcca) 0， abbcca 3 2. 5. 已知 |a| 2，|b| 1，(2a 3b) (2ab) 9. (1) 求a与b之间的夹角； (2) 求向量a在ab上的投影 . 解(1) (2a3b) (2ab) 4a 24a b3b 29，即 164a b3 9， ab 1， cos ab |a|b| 1 2.
10、 又0 ， ， 3 . (2)|ab| 2 a 22ab b 27，即 | ab| 7. 设a与ab的夹角为，则向量a在ab上的投影为 |a|cos |a| aab |a|ab| aab |ab| a 2 ab |ab| 5 7 57 7 . 1. 数量积对结合律不一定成立，因为(ab) c|a|b| cosa，bc是一个与c共线 的向量，而 (ac) b|a|c|cos a，cb是一个与b共线的向量，若b与c不共线， 则两者不相等. 2. 在实数中，若ab0，则a 0或b 0，但是在数量积中，即使ab0，也不能推出a 0 或b0，因为其中cos 有可能为0. 3. 在实数中，若abbc，b0
11、，则ac，在向量中abbc，b0?ac. 课时作业 一、选择题 1. 已知 |a| 1，|b| 1，|c| 2，a与b的夹角为 90，b与c的夹角为 45，则a(bc) 的化简结果是( ) A.0 B.a C.b D.c 答案B 解析bc|b|c|cos 45 1. a(bc) a. 2. 已知向量a，b满足ab0，|a| 1，|b| 2，则 |2ab| 等于 ( ) A.0 B.22 C.4 D.8 答案B 解析|2ab| 2(2 ab) 24| a| 24a b|b| 24140 48，|2 ab| 22. 3. 已知ab，|a| 2，|b| 3，且3a2b与ab垂直，则等于 ( ) A.
12、 3 2 B. 3 2 C. 3 2 D.1 答案A 解析(3a 2b) (ab) 3a 2(2 3)ab2b 2 3a 22b2 12180， 3 2. 4. 设单位向量e1，e2的夹角为60，则向量3e14e2与向量e1的夹角的余弦值是 ( ) A. 3 4 B. 5 37 C. 25 37 D. 537 37 答案D 解析|3e14e2| 29e2 124e1e216e 2 2924 1 21637，|3 e14e2| 37. 又(3e14e2) e13e 2 14e1e234 1 25， cos 3e14e2e1 |3e14e2|e1| 5 37 537 37 . 5. 已知非零向量m
13、，n满足 4|m| 3|n| ，cosm，n 1 3. 若 n(t mn) ，则实数t的值为 ( ) A.4 B.4 C. 9 4 D. 9 4 答案B 解析n(t mn) ，n(t mn) 0，即t mnn 20， t|m|n|cos m，n |n| 2 0，由已知得t 3 4| n| 21 3| n| 20，解得 t 4，故选 B. 6. 设向量a与b满足 |a| 2，b在a方向上的投影为1. 若存在实数，使得a与ab垂 直，则等于 ( ) A. 1 2 B.1 C.2 D.3 答案C 解析b在a上的投影为1， |a| 2， ab21 2， 又a(ab) ，a(ab) 0， ab|a| 2
14、，故 24， 2，故选 C. 7. 若向量a与b不共线，ab0，且ca aa ab b，则向量a与c的夹角为 ( ) A.0 B. 6 C. 3 D. 2 答案D 解析acaa aa ab b aa aa ab (ab) aaaa0. ac. 故选 D. 8. 如图，在边长为2 的菱形ABCD中，BAD60，E为BC的中点，则AE BD 等于 ( ) A.3 B.0 C.1 D.1 答案C 二、填空题 9. 已知平面内三个向量a，b，c满足 |a| |b| 1，|c| 3，且abc0，则向量a，b 夹角的大小是_. 答案 3 解析abc，(ab) 2 c 2， 即|a| 22a b|b| 2
15、| c| 2， 1 2ab13，ab 1 2， 则 cosa，b ab |a|b| 1 2， 又a，b0 ， ，a，b 3 . 10. 已知向量a，b满足 |a| 2，|b| 1，且对一切实数x， |axb| |ab| 恒成立，则a， b的夹角的大小为_. 答案 2 3 解析由题意可知，|axb| 2| ab| 2 ， 即a 2 2a bxb 2x2 a 22a bb 2， 设a与b的夹角为， 则 44cos xx 24 4cos 1， 即x 24cos x14cos 0， 因为对一切实数x，|axb| |ab| 恒成立， 所以(4cos ) 2 4(14cos ) 0， 即(2cos 1) 20， 所以 2cos 1 0，cos 1 2. 又因为0 ， ，所以2 3 . 11. 已知非零向量a，b，满足ab，且a 2b与a2b的夹角为120，则 |a| |b| _. 答案 23 3 解析ab，ab0， (a2b) (a 2b) a 24b2， |a2b| a 2 4ab4b 2 a 24b2， |a2b| a 2 4ab4b 2 a 24b2， a 24b2 a 24b2 a 24b2cos 120 ， 化简得 3 2a 22b20， 所以 |a| |b| 23 3 . 12. 设向量a，b，c满足abc0， (ab) c，ab，若 |a| 1，
