《江苏省常州市2020届高三上学期期末考试试题数学【含答案】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省常州市2020届高三上学期期末考试试题数学【含答案】（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、江苏省常州市2020 届高三上学期期末考试试题 数学 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分 ( 第 3 题) 1. 已知集合A 1，0，1 ，Bx|x 20，则 AB _ 2. 若复数 z 满足 zi 1i(i是虚数单位 ) ，则 z 的实部为 _ 3. 如图是一个算法的流程图，则输出S的值是 _ 4. 函数 y2 x1的定义域是 _ 5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是_ 6. 某校开设5 门不同的选修课程，其中3 门理科类和2 门文科类，某同学从中任选2 门课程学习， 则该同学“选到文科类选修课程”的概率为_ 7. 已知函数f(x) 1
2、x1，x0， x 2 3，x0， 则 f(f(8)_ 8. 函数 y3sin(2x 3 ) ，x0 ， 取得最大值时自变量x 的值为 _ 9. 在等比数列 an中，若 a11，4a2，2a3，a4成等差数列，则a1a7_ 10. 已知 cos（ 2 ） cos 2，则 tan 2 _ 11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C： x 2 a 2y 2 b 21(a 0，b0) 的右顶点为A，过 A 作 x 轴的垂线 与 C的一条渐近线交于点B.若 OB 2a，则 C的离心率为 _ 12. 已知函数f(x)|lg(x2)| ，互不相等的实数a，b 满足f(a)f(b) ，则a4b 的最小值为
3、_ 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆 C：x 22axy22ay2a2 10 上存在点 P到点 (0， 1) 的距离为 2，则实数a 的取值范围是_ 14. 在ABC中， A 3 ，点 D满足 AD 2 3AC ，且对任意 xR，|xAC AB | |AD AB | 恒成立，则cos ABC _ 二、解答题：本大题共6 小题，共90 分 . 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15. ( 本小题满分14 分) 在ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 a1，cos B 3 3 . (1) 若 A 3 ，求 sin C的值； (2) 若 b2，求 c 的值 16.
4、( 本小题满分14 分) 如图，在四棱锥PABCD 中， PA 平面 ABCD ，四边形ABCD是矩形， AP AD，点 M ，N 分别是线段PD ， AC的中点求证： (1) MN平面PBC ； (2) PC AM. 17. ( 本小题满分14 分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C：x 2 a 2 y 2 b 21(a b0) 的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆右顶 点为 A，点 F2在圆 A：(x 2) 2 y21 上 (1) 求椭圆 C的标准方程； (2) 点 M在椭圆 C上，且位于第四象限，点N在圆 A上，且位于第一象限，已知AM 13 2 AN ，求直 线 F1M的斜率
5、18. ( 本小题满分16 分) 请你设计一个包装盒，ABCD是边长为102 cm 的正方形硬纸片( 如图 1) ，切去阴影部分所示的四个全 等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2 中的点 P，正好形成一个正四棱锥形 状的包装盒 ( 如图 2)，设正四棱锥PEFGH 的底面边长为x(cm) (1) 若要求包装盒侧面积S不小于 75 cm 2，求 x 的取值范围； (2) 若要求包装盒容积V(cm 3) 最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的容积 19. (本小题满分16 分) 已知函数f(x) (ax 22x)ln x a 2x 21(a R) (1) 若曲线
6、yf(x)在 x1 处的切线的斜率为2，求函数f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x) 在区间 (1， e)上有零点， 求实数 a 的取值范围 (e 为自然对数的底数， e2.718 28) 20. ( 本小题满分16 分) 设 m为正整数，若两个项数都不小于m的数列 An ，Bn 满足：存在正数L，当 nN * 且 nm时，都有 |AnBn| L，则称数列 An，Bn是“(m， L) 接近的”已知无穷等比数列an 满足8a3 4a21，无穷数 列bn 的前 n 项和为 Sn，b11，且 Sn（bn1bn） bnbn1 1 2，nN *. (1) 求数列 an 通项公式； (2) 求证
7、：对任意正整数m ，数列 an ，a 2 n1 是“(m， 1) 接近的”； (3) 给定正整数m(m 5)，数列 1 an ，b 2 nk( 其中 kR) 是“(m， L) 接近的”，求L 的最小值，并求 出此时的k( 均用 m表示 ) ( 参考数据： ln 2 0.69) 21. 【选做题】在 A，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10 分，共 20 分若多做，则按作答的 前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 A. ( 选修 4-2 ：矩阵与变换 ) 已知点 (a ，b) 在矩阵A 1 3 2 4 对应的变换作用下得到点(4 ， 6) (1) 写出矩阵A的逆矩阵；
8、(2) 求 ab 的值 B. ( 选修 4-4 ：坐标系与参数方程) 求圆心在极轴上，且过极点与点P(23， 6 ) 的圆的极坐标方程 C. ( 选修 4-5 ：不等式选讲 ) 求函数 y x2x6 x1 的最小值 【必做题】第 22，23 题，每小题10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 22. 批量较大的一批产品中有30% 的优等品，现进行重复抽样检查，共取3 个样品，以X表示这 3 个 样品中优等品的个数 (1) 求取出的3 个样品中有优等品的概率； (2) 求随机变量X的概率分布及数学期望E(X) 23. 设集合 A1 ，2，Ant|tan3 na n1
9、3 n 1 a 13 a0，其中 aiA，i 0，1，2， n ，nN * . (1) 求 A1中所有元素的和，并写出集合An中元素的个数； (2) 求证：能将集合An(n2，nN * ) 分成两个没有公共元素的子集Bsb1，b2，b3，bs和 Clc1， c2，c3， cl， s，l N *，使得 b2 1b 2 2 b 2 sc 2 1c 2 2 c 2 l成立 1. 1， 1 2. 1 3. 10 4. 0 ， )5. 2 6. 7 10 7. 1 5 8. 12 9. 64 10. 22 11. 2 12. 14 13. 117 2 ，0 1， 117 2 14. 513 26 15.
10、 解： (1) 在ABC中， 0B，则sin B 0. 因为 cos B 3 3 ，所以 sin B 1cos 2B 1（ 3 3 ） 2 6 3 .(3分) 在ABC中， A BC，所以sin C sin (AB) sin(A B)， (5 分) 所以 sin C sin( 3 B)sin 3 cos B cos 3 sin B 3 2 3 3 1 2 6 3 36 6 .(8 分) (2) 由余弦定理得b 2a22accos B c2，则 ( 2) 212c 3 3 c 2，(10 分) 所以 c 223 3 c10，(c 3)(c 3 3 ) 0.(12 分) 因为 c 3 3 0，所以
11、 c30，即 c3.(14 分 ) 16. 证明： (1) 取 PC ，BC的中点 E，F，连结 ME ，EF，FN ， 在三角形PCD中，点 M ，E为 PD ，PC的中点， 所以 EM CD ， EM 1 2CD. 在三角形ABC中，点 F，N为 BC ，AC的中点， 所以 FN AB ， FN 1 2AB. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AB CD ， AB CD ， 从而 EM FN ， EM FN，所以四边形EMNF 是平行四边形(4 分) 所以 MN EF ，又 EF? 平面 PBC ，MN ?平面 PBC ，所以 MN 平面 PBC.(6 分) (2) 因为 PA 平面 ABC
12、D ，CD ? 平面 ABCD ，所以 PA CD. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD.(8 分) 因为 PA AD A，PA ? 平面 PAD ， AD ? 平面 PAD ，所以 CD 平面 PAD. 又 AM ? 平面 PAD ，所以 CD AM.(10 分) 因为 AP AD ，点 M为 PD的中点，所以AM PD. 因为 PD CD D，PD ? 平面 PCD ， CD ? 平面 PCD ， 所以 AM 平面 PCD.(12 分) 又 PC ? 平面 PCD ，所以 PC AM.(14 分) 17. 解： (1) 圆 A：(x 2) 2y21 的圆心 A(2，0) ，半径 r
13、 1，与 x 轴交点坐标为 (1 ，0)，(3， 0) 点 F2在圆 A：(x 2) 2 y2 1 上，所以 F 2(1 ， 0) ，从而 a2，c 1， 所以 ba 2c2 2 212 3，所以椭圆C的标准方程为 x 2 4 y 2 3 1.(4 分) (2) 由题可设点M(x1，y1) ，0 x12， y10，点 N(x2，y2) ，x20，y20， 则AM (x12，y1) ，AN (x22，y2) 由AM 13 2 AN 知，点 A ，M ，N共线 (5 分) 由题知直线AM的斜率存在，可设为k(k 0) ，则直线AM的方程为yk(x 2) 由 yk（x2）， （x2） 2 y21，得
14、 x2 1 k 2 1k 2， yk 1k 2 1 k 2 或 x2 1k 2 1k 2， y k1k 2 1k 2， 所以 N(2 1k 2 1 k 2， k1k 2 1 k 2) (7 分) 由 yk（x2）， x 2 4 y 2 3 1， 得(34k 2)x216k2x16k2120，解得 x2， y0 或 x 8k 26 34k 2， y 12k 34k 2， 所以 M( 8k 26 34k 2， 12k 34k 2) (10 分) 代入 AM 13 2 AN 得( 8k 26 34k 22， 12k 34k 2) 13 2 ( 1k 2 1 k 2， k1k 2 1k 2) ， 即(
15、4k 29)(52k251) 0，又 k0，解得 k3 2 ， (13 分) 所以 M(1， 3 2) ，又 F 1( 1， 0) ，可得直线F1M的斜率为 3 2 1（ 1） 3 4.(14 分) 18. 解： (1) 在图 1 中连结 AC ，BD交于点 O ，设 BD与 FG交于点 M ，在图 2 中连结 OP. 因为 ABCD 是边长为102 cm 的正方形，所以OB 10(cm) 由 FG x，得 OM x 2，PM BM 10 x 2.(2 分) 因为 PM OM ，即 10 x 2 x 2，所以 0 x10.(4 分 ) 因为 S 4 1 2FG PM 2x(10 x 2)20 xx 2，(6 分) 由 20 xx 275，得 5x15，所以 5x10. 答： x 的取值范围是5x 10.(8分) (2) 在 RtOMP 中，因为OM 2OP2PM2， 所以 OP PM 2OM2 （10 x 2） 2（x 2） 2 10010 x， V 1 3FG 2OP 1 3x 2 100 10 x 1 3 100 x 4 10 x5，0 x10.(10 分) 设 f(x)100 x 410 x5，0 x10，所以 f (x) 400 x350 x4 50 x3(8 x) 令 f (x) 0，解得 x8 或
