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1、1 O 510 1520 频率 组距 重量 0.06 0.1 山西大学附属中学 2019 届高三第二学期4 月模拟考试 数学试题（理） 一、 选择题： （本大题共12 个小题 ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数z满足iiz54（i为虚数单位） ，则z的共轭复数为（） Ai45Bi45Ci45Di45 2. 设集合 2 log (1)0 ,2MxxNx x，则M N（） A 22xx B 2x x C 2x x D 12xx 3右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（） A11 B11.
2、5 C12 D12.5 4. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限 增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割 圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著 名的徽率 .如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 n值为 （） 参考数据：31.732，sin150.2588，sin7.50.1305. A. 12 B. 24 C. 48 D. 96 5某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（） A 2 3 B 3 C 2 9 D 16 9 6. 已知4a ，e为单位向量， 当e a, 的夹角为120
3、时，ea在ea上的投影为 （） A5B 4 15 C 13 1315 D 7 215 7.(1) n x的展开式中第4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 （）A 12 2B 11 2C 10 2D 9 2 8已知函数( )3sincosf xxx，把函数( )f x的图象向右平移 3 个单位，再把图象的横坐标缩小到 2 原来的一半，得到函数( )g x的图象，当0, 2 x时，方程( )0g xk有两个不同的实根，则实数k的 取值范围为（） A1,3B3, 2C1,2D1,2 9. 已 知 函 数yfx的 定 义 域 为0 ， 当 1x 时 ，0fx， 对 任 意 的0
4、 xy， fxfyfx y 成立，若数列 n a 满足 1 1af ，且 * 1 21N nn fafan，则 2017 a的值为（） A 2014 21B 2015 21C 2016 21D 2017 21 10. 如图所示，某几何体由底面半径和高均为5 的圆柱与半径为5 的半球面对接而成，该封闭几何体内部 放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（） A 2000 9 B 4000 27 C81D128 11. 如图，已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab的右顶点为,A O为坐标原 点， 以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交
5、于两点P，Q， 若 0 60PAQ， 且 3OQOP，则双曲线C的离心率为（ ） A 7 2 B 3 3 3 C 29 6 D 3 12. 已知函数 12 ,0 ( ),( )421,() ln ,0 x xx x x e f xg xaaaaR x x x ，若( ( )f g xe对xR恒 成立（e是自然对数的底数） ，则a的取值范围是（） A 1,0 B 1,0 C 2,0 D 1 ,0 2 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 某校高三科创班共48 人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1 至 48 的学号用系统抽样 方法抽取 8 人进行调查，若
6、抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为_ 3 14. 设函数 2 ( )(0)f xaxb a，若 2 0 0 ( )2 ()f x dxf x， 0 0 x，则 0 x等于 _ 15. 已知数列 n a中， 11 1,(2,) nn aaannnN ，设 1232 1111 n nnnn b aaaa ，若对 任意的正整数n，当1,2m时，不等式 2 1 3 n mmtb恒成立，则实数 t的取值范围是_ 16. 已知 2 4yx的准线交 x轴于点Q，焦点为 F，过Q且斜率大于 0 的直线交 2 4yx于 ,A B， 0 60AFB，则 AB_ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算
7、步骤.） 17 （本小题满分12 分） 已知向量 2 (cos, 1),( 3 sin,cos) 222 xxx mn，设函数( )1f xm n （）求函数( )f x的单调递增区间； （）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足 22 6cosababC， 2 s i n2 si ns i nCAB，求()f C的值 18 （本小题满分12 分） 某单位从一所学校招收某类特殊人才对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能 力的测试，其测试结果如下表： 例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人由于部分数据丢失，只知道从这20位 一般良好优秀 一般 2
8、21 良好 4 b 1 优秀 1 3a 逻辑思维 能力 运动 协调能力 4 参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 2 5 ()求a，b的值； ()从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生 的概率； ()从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随 机变量的分布列及其数学期望E 19 （本小题满分12 分） 如图， 在三棱锥ABCP中，PA底面ABC，ACBC，H 为PC的中点，M为AH的中点，2PAAC，1BC. （）求PM与平面 AHB成角的正弦值； （）
9、在线段PB上是否存在点N，使得/MN平面ABC .若存在， 请 说明点 N 的位置，若不存在，请说明理由. 20（本小题满分12 分）如图，设椭圆1 C： 22 22 1(0) xy ab ab ， 长轴的右端点与抛物线2 C： 2 8yx 的焦点F重合，且椭圆 1 C的离心率是 3 2 （）求椭圆 1 C的标准方程； （）过F作直线l交抛物线 2 C于A，B两点，过F且与直线l垂直的 直线交椭圆 1 C于另一点C，求ABC面积的最小值，以及取到最小值时 直线l的方程 A B C P H M 5 21. （本小题满分12 分）已知函数 2 ( )1f xax (1)若 ( ) 1, ( ) x
10、 xf xx ag x e ，证明：当5x时, ( )1g x ； (2)设 ( )1 ( )1 x f x h x e ，若函数 ( )h x 在(0, )上有 2 个不同的零点，求实数a的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题共10 分）在直角坐标系 xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直 线l的参数方程为 1 1 xt yt ， （t为参数），曲线C的普通方程为 22 215xy，点P的极坐标 为 7 2 2, 4 （I）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程； （II）若将直线l向右平移2 个单位得到
11、直线l，设l与C相交于,A B两点，求 PAB的面积 23 （本小题共10 分）设( )|3|4 |.f xxx （）求函数)(2)(xfxg的定义域； （）若存在实数x满足( )1f xax，试求实数a的取值范围 . 6 山西大学附中 2019 届高三第二学期 4 月模拟考试 数学试题（理） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A D C B D D D D C B A A 13.6, 14. 2 3 3 , 15. 1t , 16. 17. （1） 2311 ( )3sincoscos1sincos 222222 xxx f xxx 1 sin 62 x 令 2
12、22,22() 26233 kxkkxkkZ 6分 所以所求增区间为 2 2,2() 33 kkkZ 7分 （2）由 22 6cosababC， 2 sin2sinsinCAB， 2 2cab 8分 222 6cos2 cos3cos1 22 abcabCab CC abab ，即 1 cos 2 C 10分 又0C， 3 C 11分( )()1 3 f Cf 12分 18 解析：()设事件A： 从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由 题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a人 则 62 ( ) 205 a P A解得2a所以4b4 分 ()设
13、事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由题 意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人 则 2 12 2 20 62 ( )1()1 95 C P BP B C 7 分 （）的可能取值为0，1，220位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人 所以 2 12 2 20 33 (0) 95 C P C ， 11 128 2 20 48 (1) 95 C C P C ， 2 8 2 20 14 (2) 95 C P C 所以的分布列为 0 1 2 7 所以，0E 33 95 1 48 95 2 14 95 764 955 12 分 19 （）解
14、：在平面 ABC 中，过点A作 ，BCAD / 因为BC平面PAC，所以AD平面PAC， 由 PA 底面ABC，得 PA，AC，AD两两垂直， 1 分 所以以A为原点， AD，AC，AP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴如图建立 空间直角坐标系， 则(0,0,0)A，(0,0, 2)P，(1,2,0)B，(0, 2,0)C，(0,1,1)H， 1 1 (0,) 2 2 M. 设平面 AHB的法向量为 ( , )x y zn， 因为(0,1,1)AH，(1,2,0)AB， 由 0, 0, AH AB n n 得 0, 20, yz xy 令 1z ，得(2,1,1)n. 4 分 设PM与平面 AH
15、B成角为 ， 因为) 2 3 , 2 1 ,0(PM，所以 13 20( 1)1() 22 sincos, 5 6 2 PM PM PM n n n ，即 2 15 sin 15 . 7 分 P 33 95 48 95 14 95 A B C P H M A B C P H M N z x y D 8 （） 解：因为(1,2, 2)PB，设 P NPB ，所以( ,2 , 2 )PN， 又因为 13 (0,) 22 PM， 所以 1 3 ( ,2,2 ) 2 2 MNPNPM. 因为/MN平面ABC，平面ABC的法向量(0,0, 2)AP， 所以 340MN AP ，解得 4 3 . -11
16、即点 N是靠近点B的四等分点 12 分 20 【解析】（）椭圆 1 C： 22 22 1(0) xy ab ab ，长轴的右端点与抛物线 2 C： 2 8yx的焦点F 重合，2a，又椭圆 1 C的离心率是 3 2 ，3c，1b， 椭圆 1 C的标准方程为 2 2 1 4 x y.4分 （）过点2,0F的直线l的方程设为2xmy，设 11 ,A xy， 22 ,B xy， 联立 2 2, 8 , xmy yx 得 2 8160ymy ， 12 8yym， 12 16y y ， 2 22 1212 148 1ABmyyy ym过F且与直线l垂直的直线设为2ym x，联 立 2 2 2 , 1, 4 ym x x y 得 2222 14161640mxm
