第8章模糊模式识别-西安电子科技大学精编版

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1、第8章模糊模式识别,8.1模糊集合 8.2模糊关系 8.3模糊模式识别的基本思想 8.4模糊聚类分析,8.1 模 糊 集 合 8.1.1模糊子集的概念 模糊集合也称模糊子集, 是由其隶属函数来定义的。 定义8.1给定论域U, 如果对任意的uU, 都确定了一个数, 表示u属于的程度, 则称为论域U上的一个模糊子集; 称映射,(8-1),为的隶属函数; 称为u对的隶属度。 隶属函数是模糊性的一种度量, 表示元素u具有性质的程度, 或u属于的程度。 【例 8.1】取论域U是实数集R, 模糊子集表示“远大于1的实数”, 其隶属函数可以选择为(如图8-1所示),图 8-1例8.1中隶属函数的示意图,【例

2、 8.2】以年龄作论域, 取U=0, 200, 模糊子集 表示“年老”, 表示“年轻”, 它们的隶属函数可以选择为(如图8-2所示),若U为有限集合或可数集合, 则模糊子集可表示为,(8-2),若为无限不可数集，则可表示为：,(8-3),其中，“”与“”并不是求和与积分, 而是表示模糊子集 中各个元素与隶属度的对应关系。 ,图 8-2例8.2中隶属函数的示意图,当的值域为0, 1时, 退化为一个普通子集的特征函数, 便退化成一个普通子集, 因此, 普通子集 是模糊子集的特殊形态。 若把论域U上全部模糊子集所组成的集合记作F(U), 则有, 其中P(U)是U的幂集。 当 时, 称为真模糊子集。

3、此时, 至少存在一个元素u0, 使 。 ,如果存在至少一个元素u0U, 使得, 则称 为正规模糊子集(Normal), 否则称为非正规模糊子集。 如果对任意的u1, u2U, 0, 1, 都有 则称为凸模糊子集(Convex)。 假设论域U为实数域R, 如果既是正规模糊子集, 又是凸模糊子集, 则称为模糊数(Fuzzy Number)。,8.1.2隶属函数的确定 隶属函数的确定需要对描述的概念进行充分的了解, 经过人脑的加工和某种心理过程, 采用一定的数学方法来表达。 确定隶属函数的方法有许多, 如模糊统计法、 模糊分布、 专家打分法、 推理法和对比排序法等。 这里主要介绍模糊统计法与模糊分布

4、。 ,1. 模糊统计法 在某些场合下, 隶属度可用模糊统计的方法来确定。 模糊统计试验有四个要素: (1) 论域U, 例如年龄的集合; (2) U中的一个元素u0, 例如50岁; (3) U中一个边界可变的普通集合A*, 例如“年老”, A*对应一个模糊集及其相应的模糊概念a; (4) 条件s, 它对应按概念a所进行的划分过程的全部主、 客观因素, 制约着A*边界的改变, 例如不同试验者对“年老”的理解不一样。,模糊性产生的根本原因就是, 条件s对按概念a所作的划分引起A*的变异, 导致u0对A*的隶属关系不确定, 即A*可能覆盖了u0, 也可能不覆盖u0。 例如, 有的试验者认为50岁是“年

5、老”, 但有的试验者认为不是。 模糊统计试验要求在每一次试验下, 对u0是否属于A*作一个确切的判断。 经过 n 次试验以后, 可计算出u0对的隶属频率:,u0对的隶属频率=,(8-4),一般地, 随着n的增大, 隶属频率表现出稳定性。 u0对的隶属度定义为,(8-5),得到统计结果后, 可选用某种分布函数进行拟合, 适当调整参数就可以得到隶属函数的数学表达式。,2. 模糊分布 在许多实际应用中, 一般以实数集R作为论域。 实数集R上模糊集合的隶属函数称为模糊分布, 记为F分布。 在实际应用中, 可根据具体问题的特点选择相应的F分布。 也可以通过统计, 给出隶属度的大致曲线, 将它与F分布比较

6、, 选择相似的一种, 再根据实验确定符合实际的参数。 这里给出常用的几种F分布。,1) 矩形分布 (1) 偏小型(见图8-3(a):,(2) 偏大型(见图8-3(b):,（3）中间型（图8-3（c）,图 8-3矩形分布 (a) 偏小型; (b) 偏大型; (c) 中间型,2) 梯形分布 (1) 偏小型(见图8-4(a):,(2) 偏大型(见图8-4(b)：,(3) 中间型(见图8-4(c):,图8-4 梯形分布 (a) 偏小型；(b) 偏大型；(c) 中间型,3）抛物形分布 （1）偏小型（图8-5（a）,（2）偏大型（图8-5（b）,（3）中间型（图8-5（c）,图8-5 抛物形分布 (a)

7、偏小型；(b) 偏大型；(c) 中间型,4）正态分布 （1）偏小型（图8-6（a）,（2）偏大型（图8-6（b）,（3）中间型（图8-6(c)）,图8-6 正态分布 (a) 偏小型；(b) 偏大型；(c) 中间型,5）柯西分布 （1）偏小型（图8-7(a),（2）偏大型（图8-7(b),（3）中间型（图8-7(c)）,图8-7 柯西分布 (a) 偏小型；(b) 偏大型；(c) 中间型,6）岭形分布 （1）偏小型（图8-8(a),（2）偏大型（图8-8(b),（3）中间型（图8-8(c)）,图8-8 岭形分布 (a) 偏小型；(b) 偏大型；(c) 中间型,8.1.3模糊子集的运算 1. 基本运

8、算 两个模糊子集之间的运算是通过对两个隶属度作逐点的运算来实现的。 (1) 相等: 设和为论域U上的两个模糊子集, 若, 有, 则称和相等, 即,(8-6),(2)包含：设和为论域U上的两个模糊子集，若 ，有 ，则包含，即,(8-7),(3) 空集：设为论域上的模糊子集，若，有，则称为空集，记为，即,(8-8),(4) 补集：设 和 为论域上的两个模糊子集，若 ，有,(8-9),则称 为 的补集。,(5) 全集：设 为论域U上的模糊子集，若 ，有 ，则称 为全集，记为，即,(8-10),(6)并集：设，都为论域上的模糊子集，若 ，有 ，则称 为 与 的并集，即,(8-11),(7) 交集：设

9、， ， 都为论域U上的模糊子集，若 ，有 ，则称 为 与 的交集，即,(8-12),2. 模糊子集运算的基本性质 一般地, 除互补律以外, 在普通集合中成立的各种基本性质对于模糊集合也都成立。 模糊子集运算的基本性质如下: (1) 自反律:,(8-13),（2）反对称律,(8-14),(8-16),（3）传递律,(8-15),（4）幂等律,（5）交换律,(8-17),(8-18),（6）结合律,（7）吸收律,(8-19),（8）分配律：,(8-20),(8-21),（9）双重否定律,（10）对偶律（德摩根定律）,(8-22),（11）定常律,；,(8-23),（12）一般地，互补律不成立,(8

10、-24),3. 模糊集合与普通集合的相互转化 截集概念和分解定理是普通集合与模糊集合之间的联系纽带, 可以把模糊集合论的问题转化为普通集合论的问题。 与之对应的是, 扩张原则把普通集合论的方法扩展到模糊集合论中去。 扩张原则是Zedah于1975年提出的, 可作为公理来使用, 但实质上是一个定义。 ,定义8.2对于给定的模糊集合 , 对任意0, 1, 称普通集合,(8-2),为 的截集。 A是 的隶属度达到或超过的元素的集合。 不难证明, 截集A满足如下三个性质: ,(8-26),(8-27),(8-28),此外, 容易验证, 模糊数 的截集为实数轴的一个闭区间, 即A=a, b。 定义8.3

11、设, 称A1为 的核; 称 为 的支集; 称 SuppA1为 的边界。 若模糊子集为正规模糊集, 则的核是非空的, 反之亦然。,Supp,定理8.1 （分解定理） 设为论域U上的一个模糊子集， A是的截集, 0, 1, 则可以分解为,(8-29),其中, 模糊子集A称为与A的“乘积”, 其隶属函数为,(8-30),8.2 模 糊 关 系,8.2.1模糊关系的定义 设U、 V是两个论域, 记,(8-33),UV称为U与V的笛卡尔乘积集。 ,由式(8-33)可以看出, 笛卡尔乘积集是两个集合元素间的无约束搭配。 如果对搭配加以约束, 便形成了一种特殊关系, 相应的元素对构成笛卡尔乘积集的一个子集,

12、 该子集体现了相互之间的这种关系。 因此, 在普通集合论中, U到V的一个关系被定义为UV的一个子集R。 相应地, 模糊关系就是论域UV上的一个模糊子集。 ,定义8.5称论域UV上的一个模糊子集为从U到V的一个模糊关系, 记作 。 模糊关系的隶属函数为,(8-34),当论域U、 V都是有限集合时, 模糊关系 可以用一个矩阵R来表示, 即,(8-35),其中，,，,(,)。,矩阵R称作模糊矩阵。 若,(,),(8-36),则矩阵R退化为布尔矩阵。 布尔矩阵表示的是一种普通关系, 因而普通关系是模糊关系的特例。,模糊关系的建立主要包括如下两个步骤: (1) 数据规范。 把各对象的数据规范化, 一般

13、把数据规范到闭区间0, 1。 (2) 计算对象i与j之间具有某种关系 的程度rij(一般是对象i与j之间的相似程度), 其中, 1in, 1jm, n和m为对象个数, 从而确定模糊关系 所对应的模糊矩阵R。,8.2.2模糊关系与模糊矩阵的运算 下面定义模糊关系与模糊矩阵的运算, 它们之间是等价的。 1. 并、 交、 补、 相等和包含运算 定义8.6用Fnm表示n行m列模糊矩阵的全体, 对任意R=(rij), S=(sij)Fnm, 定义,(8-37),(8-38),(8-39),2. 截矩阵 定义8.7对任意0, 1, 记R=(ij), 其中,称R为R的截矩阵, 它所对应的关系称为 的截关系。

14、,8.3 模糊模式识别基本思想,8.3.1特征的模糊化 特征的模糊化是指根据一定的模糊化规则把普通意义下的一个或几个特征变量变成多个模糊变量, 用来表达原始特征的某一局部特性。 其中, 模糊化规则通常是根据具体应用领域的专门知识人为确定或通过试算确定的; 当论域为实数域时, 模糊变量一般为模糊数。,例如, 在统计模式识别中, 人的身高是一个数字化的特征。 在模糊模式识别中, 根据需要, 可以把身高特征分为“偏矮”、 “中等”和“偏高”三个模糊特征。 每个模糊特征是一个连续变量, 分别表示身高属于偏矮、 中等和偏高的程度, 而不是身高的具体数值。 这种表示方法通常称为1ofN编码(N分之一编码)

15、。 特征的模糊化将一个确定的点x=(x1, x2, , xn)TU= U1U2Un 转换成一个模糊集 , 其中, U为论域。 主要有两种映射方法: ,(1) 单值模糊产生器。 若集合 对于支撑集x为模糊单值, 则对于某一点x=x, 有 , 而对其余所有 xx, 有 。 (2) 非单值模糊产生器。 当x=x时, 有; 当x逐渐远离x时, 从1开始衰减。 模糊特征能够更好地反映问题的本质, 简化分类器的设计和提高分类器的性能, 特别是, 若对特征与分类问题之间的关系有一定的先验知识, 则这种方法一般能取得较好的结果。 ,8.3.2结果的模糊化 在普通模式识别中, 分类就是把样本空间(或样本集)分成

16、若干个子集。 在模糊模式识别中, 用模糊子集代替确定子集, 从而得到模糊的分类结果, 即分类结果的模糊化, 其中, 一个样本以不同的程度属于各个类别, 而不再属于某个确定的类别。 ,与确定的分类结果相比, 模糊化的分类结果主要有两个显著的优点: (1) 可以反映出分类过程中的不确定性, 有利于用户根据结果进行决策。 (2) 模糊化的分类结果比明确的分类结果中包含更多的信息, 有利于进一步决策。 ,8.3.3硬分类和模糊分类 1. 硬分类 在硬分类中, 把样本集x1, x2, , xN分成m类, 每一个xk必须完全属于某一类, 同时, 每一类至少包含一个样本。 这种分类结果可以用一个mN阶矩阵V来表示, V中元素vik表示样本xk是否属于第