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1、.,1,不确定度评定基础知识,计量基础知识,.,2,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 一、概率论和数理统计：研究大量随机现象的统计规律性的数学学科。 二、事件：观测或试验的一种结果。 与测量结果相关联的不确定度是事件，相应的每个误差也是事件。 确定性事件 不确定性事件,.,3,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 概率论和数理统计就是从两个不同的侧面来研究不确定事件的统计规律性。 在概率统计中，把事件区分为最典型的三种情况： 必然事件、不可能事件、随机事件。 三、随机变量：如果某一量（例如测量结果）在一定条件下，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件，则这样的量叫随机变量。即随机
2、变量是用来表示随机现象结果的变量。测量结果及其不确定度均为随机变量。,.,4,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 随机变量根据其取值的特征可分为两种： 连续型随机变量：随机变量X可在坐标轴上某一区间内取任一数值，即取值布满区间或整个实数轴。如重复测量中所得的一组观测值属于连续型随机变量。 离散型随机变量：随机变量X的取值可离散地排列为x1，x2，即只取有限个或可数个实数。例如在取有效数字的位数时，数字的舍入误差属于离散型随机变量。,.,5,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 四、事件的概率 在n次独立的连续试验中，事件A发生了m次，m称为事件的频数， m /n称为相对频数或频率。当
3、n极大时频率 m /n稳定地趋于某一个常数，此常数称为事件A的概率，记为P(A)= p 。 概率p是用以度量随机事件A在试验中出现可能性大小的数值。 0P(A) 1 测量值X落在x0到 x0+ x区间的概率可表示为 P(x0 x x0 + x) 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0,.,6,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 五、概率的一些重要性质 p()=0 若A1 ，A2， ，An是两两不相容事件，则P(A1 A2 An) =P(A1)+P(A2)+ +P (An) 设A、B是两个事件，若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A)；对于任一事件A ， P(A) 1 对于任一事件A
4、， 对于任意两事件A、B，有 P(A B) = P(A) + P(B)- P(A B),.,7,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 五、概率的一些重要性质 例如: 加工某零件100件，要求尺寸在(1000.01)mm，加工后发现尺寸小于99.99的零件有2件，尺寸大于100.01的零件有3件，则尺寸超差的概率为： P(A)=2%+3%=5%,.,8,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 六、概率分布 （随机变量的）概率分布定义：一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集时的概率随取值变化的函数。 测量结果的值和 该值出现的概率之间 的对应关系称为测量 结果的概率分布。,.,9,第一章
5、概率统计的基本知识,第一节基本概念 六、概率分布 离散型随机变量的概率分布： 设离散型随机变量X所有可能取的值为xi(i=1,2, )， X取所有可能值的概率，即事件X= xi的概率为P X= xi= pi ，则由概率的定义可知： pi0，且 P X= xi= pi (i=1,2, )为离散型随机变量X的概率分布或分布率。离散型随机变量的概率分布可用表格形式表示。,.,10,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 连续型随机变量的概率分布 设X是一随机变量，x为任意实数，函数F(x)=PX xi称为X的分布函数。对于任意实数x1、x2(x1x2)，有 Px1 X x2 = PX x2 - P
6、X x1 =F(x2)- F(x1),.,11,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 七、分布函数F(x)的基本性质 若F(x)是一个不减函数，则 F(x2)- F(x1)= Px1 X x2 0 ，x1x2 若0 F(x) 1，则 若 F(x+0)= F(x)，则F(x)是右连续,.,12,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 八、概率密度函数 概率分布函数的导数即为概率密度函数，用f(x)或p(x)表示 若已知概率密度函数，则测量值落在(x0 , x0+x)区间内的概率为：,.,13,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 八、概率密度函数 P=0.9表明该区间包含了概率密度分布
7、曲线下面积的90%，即测量值在该区间的置信度为0.9 ，所以P 又称为置信概率或置信水平，该区间称为置信区间。 置信限：置信区间的界限。半宽度：置信区间的上限与下限之差的一半。（a） 置信因子：当a用k倍标准偏差表示时， k称为置信因子。,.,14,第一章概率统计的基本知识,第一节基本概念 概率密度函数的性质 f(x) 0， 假设x1x2，则 若f(x)在x点处连续，则,.,15,第二节期望、方差和标准偏差,一、期望 1、定义：无穷多次测量的算术平均值的极限，在统计学中把期望称为总体均值或均值。 常把X量期望用E(X)表示 测量值X的期望是无穷多次测量的测量值xi与其相应概率pi的乘积之和，即
8、以概率加权的算术平均值。 当已知概率密度函数时，期望可写为：,.,16,第二节期望、方差和标准偏差,2、数学期望的运算法则 (1) 常数c的期望等于常数本身，E(c) =c (2) 设X为一随机变量，c为一常数，则E(cX)=cE(X) (3) 设X、Y为两个独立的随机变量，则E(XY)=E(X) E(Y) (4) 设X1，X2.Xn为任意的随机变量， a1，a2， an是任意常数，则,.,17,第二节期望、方差和标准偏差,二、方差 1、定义： 无穷多次测量的测量值与其期望之差平方的算术平均值的极限. 或者说：方差就是测量的随机误差（测量值-期望）平方的数学期望. 测量值平方的期望减去期望的平
9、方. 如果已知概率密度函数，则,.,18,第二节期望、方差和标准偏差,2、方差的运算法则 (1) (2) 常数的方差为零 D(c) =0 (3) 设X为一随机变量，c为一常数，则D(cX)=c2D(X) (4) 设X、Y为两个独立的随机变量，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) (5) 设X、Y为任意两个随机变量，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2XY, XY=E(x-X)(y-y)称为随机变量的协方差，它描述了两个变量相互依赖的程度。,.,19,第二节期望、方差和标准偏差,三、标准偏差 方差的正平方根，用来表征测量值的分散程度。 小表明测量值比较集中， 大表明测量值比较分散。 表征测量
10、设备的重复性和复现性，因为它是在无穷多次测量情况下定义的，所以又称总体偏差。,.,20,第二节期望、方差和标准偏差,四、算术平均值与实验标准偏差 1、算术平均值是期望的最佳估计值 算术平均值定义：值的总和除以值的个数。 通常在测量时，用算术平均值作为测量结果，它是期望的无偏估值。,.,21,第二节期望、方差和标准偏差,2、实验标准偏差是总体标准偏差的估计值 实验标准偏差的估值方法： 贝赛尔公式法 残差 n-1=为自由度。计算残差平方和时具有独立项的个数。即总和中的项数减去其受约束的条件。当待测量为t个，测量次数为n，约束条件为r个时，自由度为n-t-r。,.,22,第二节期望、方差和标准偏差,
11、2、实验标准偏差是总体标准偏差的估计值 极差法 较差法（阿仑方差）,.,23,第二节期望、方差和标准偏差,例：对某量测量9次，测得数据为：1225、1258、1258、1253、1252、1252、1256、1189、1240 贝赛尔公式法： 极差法,自由度为=8,自由度为=6.8,.,24,第二节期望、方差和标准偏差,3、算术平均值的实验标准偏差 4、实验标准偏差的标准偏差 当测量次数n=6时，相对标准偏差估计值约为31.6% 当测量次数n=9时，相对标准偏差估计值约为1/4，即25%。 当测量次数n=19时，相对标准偏差估计值约为1/6，即16.7%。,.,25,第二节期望、方差和标准偏差
12、,五、协方差和相关系数 1、相关与独立的概念 相关：两个随机变量X、Y，如果其中一个量的变化会导致另一个量的变化，就说X、Y这两个量是相关的。 独立：如果两个随机变量的联合概率分布是他们两个概率分布的乘积，则这两个随机变量是统计独立的。 注意：如果两个随机变量是独立的，则肯定不相关，但反之不一定成立。,.,26,第二节期望、方差和标准偏差,五、协方差和相关系数 2、协方差 两个随机变量X、Y的协方差定义为各自随机误差之积的期望。 Cov(X,Y)=E(x-x)(y-y) 协方差是两个随机变量相关性的一种度量，协方差为零表示不相关。 在有限次测量时，协方差的估计值为,.,27,第二节期望、方差和
13、标准偏差,五、协方差和相关系数 3、相关系数 两个随机变量的协方差与他们的标准偏差乘积之比，即 相关系数估计值,.,28,第三节 常用的概率分布,一、正态分布（高斯分布） 曲线与x轴所围面积为1； 为形状参数， 为位置参数； 如=1， =0，标准正态分布。 特点： 对称性 单峰性 渐进线 有拐点,.,29,第三节 常用的概率分布,一、正态分布,.,30,第三节 常用的概率分布,一、正态分布,.,31,第三节 常用的概率分布,一、正态分布 正态分布时测量值落在k 区间内的概率,.,32,第三节 常用的概率分布,2、均匀分布 数学期望： 标准偏差： 设区间半宽度为a，则,.,33,第三节 常用的概
14、率分布,2、均匀分布 设区间半宽度为a，则 （ P=100% ,U100= a ） 如果 P=95% , U95=0.95a, k=1.65,.,34,第三节 常用的概率分布,3、三角分布 标准偏差（区间半宽度为a） ： 如果 P=95% , U95=0.7764a , k=1.9,.,35,第三节 常用的概率分布,4、梯形分布 当 =0时，为三角分布；当 =1时，为均匀分布,.,36,第三节 常用的概率分布,5、反正弦分布 标准偏差 （区间半宽度为a）,.,37,第三节 常用的概率分布,6、t分布 t 分布又称学生分布，是连续型随机变量t 的概率分布。在概率中它表征对样本中所取子样的分布，或
15、称抽样分布。如果无穷多次测量的整体分布是正态分布，那么t分布就是描述其有限次测量的分布。 有限次测量时算术平均值与其期望之差与算术平均值的标准偏差之比,.,38,第三节 常用的概率分布,6、t分布 其中： 为 函数， 为分布的自由度，当 时，t 分布 正态分布 通常我们所说的1 （k=1）和3 （k=3）所对应的置信概率为68.27%和99.73%指的是正态分布，即自由度为无穷大，在有限次测量的情况下，应为t 分布.,.,39,第二章计量学通用术语及概念,第一节 基本术语 1、测量 以确定量值为目的的一组操作。 量值： 一般由一个数乘测量单位所表示的特定量的大小。 例如:某信号的频率为100k
16、Hz 某棒的长度为3.45m,.,40,第二章计量学通用术语及概念,第一节 基本术语 测量的分类： 按测量方法不同分为直接测量、间接测量； 按测量状态不同分为静态测量和动态测量； 按操作方式不同分为手动测量和自动测量； 按测量场所不同分为现场测量、在线测量和远距离测量； 按测量器具是否接触测量对象分：接触测量和不接触测量。,.,41,第二章计量学通用术语及概念,第一节 基本术语 2、校准 定义：在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示的量值，或实物量具、标准物质所代表的量值，与对应的由测量标准所复现的量值之间关系的一组操作。 （在规定的条件下，为确定计量器具示值误差的一组操作。） 校准结果有下列三种形式： 1、给出校准值，如10 的标准电阻，其校准值为9.9 。 2、给出修正值（校准值-标称值），如10 的标准电阻，其修正值为-0.1 。 3、给出校准曲线。 证书、校准结果的不确定度。,.,42,第二章计量学通用术语及概念,第一节 基本术语 3、检定 定义：由法定计量技术机构确定与证实测量器具是否完全满足要求而做的全部工作。 (为评定计量器具的计量特
