《高考数学圆锥曲线专题-直线和圆锥曲线常考题型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学圆锥曲线专题-直线和圆锥曲线常考题型（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。 外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。 垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。 （2019 年全国一卷理科）19 （12 分） 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交 点为 P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若3APPB ，求|AB| 19解：设直线 1122 3 :, 2 l yxt A x yB xy （1）由题设得 3 ,0 4 F ，故 12 3
2、| 2 AFBFxx，由题设可得 12 5 2 xx 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 22 912(1)40 xtxt，则 12 12(1) 9 t xx 从而 12(1)5 92 t ，得 7 8 t 所以l的方程为 37 28 yx （2）由3APPB 可得 12 3yy 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 2 220yyt 所以 12 2yy从而 22 32yy，故 21 1,3yy 代入C的方程得 12 1 3, 3 xx 故 4 13 | 3 AB （2019 年全国二卷理科）21（12 分） 已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与
3、BM 的斜率之积为 1 2 .记 M 的轨迹 为曲线 C. （1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连 结 QE 并延长交 C 于点 G. （i）证明：PQG是直角三角形； （ii）求PQG面积的最大值. 21解：（1）由题设得 1 222 yy xx ，化简得 22 1(| 2) 42 xy x，所以 C 为中心 在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点 （2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为(0)ykx k 由 22 1 42 ykx xy 得 2 2 12 x k 记
4、2 2 12 u k ，则( ,),(,),( ,0)P u uk QuukE u 于是直线QG的斜率为 2 k ，方程为() 2 k yxu 由 22 (), 2 1 42 k yxu xy 得 22222 (2)280kxuk xk u 设(,) GG G xy，则u和 G x是方程的解，故 2 2 (32) 2 G uk x k ，由此得 3 2 2 G uk y k 从而直线PG的斜率为 3 2 2 2 1 2 (32) 2 uk uk k ukk u k 所以PQPG，即PQG是直角三角形 （ii）由（i）得 2 | 21PQuk ， 2 2 21 | 2 uk k PG k ， 所
5、以PQG 的面积 2 22 2 1 8() 18 (1) | 1 2(12)(2) 12() k kk k SPQ PG kk k k 设 t=k+ 1 k ，则由 k0 得 t2，当且仅当 k=1 时取等号 因为 2 8 1 2 t S t 在2，+）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值 为 16 9 因此，PQG 面积的最大值为 16 9 （2019 年全国三卷理科）21已知曲线 C：y= 2 2 x ，D 为直线 y= 1 2 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B. （1）证明：直线 AB 过定点： （2）若以 E(0， 5 2 )为圆心的
6、圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积. 21解：（1）设 11 1 , 2 D tA x y ，则 2 11 2xy. 由于yx，所以切线DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt . 整理得 11 22 +1=0. txy 设 22 ,B xy，同理可得 22 22 +1=0txy. 故直线AB的方程为2210txy . 所以直线AB过定点 1 (0, ) 2 . （2）由（1）得直线AB的方程为 1 2 ytx. 由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210 xtx . 于是 2 12121212 2 ,1,121xxtx
7、xyyt xxt ， 2 222 121212 |11421ABtxxtxxx xt. 设 12 ,d d分别为点D，E到直线AB的距离，则 2 12 2 2 1, 1 dtd t . 因此，四边形ADBE的面积 22 12 1 |31 2 SABddtt. 设M为线段AB的中点，则 2 1 , 2 M t t . 由于EMAB ， 而 2 ,2EMt t ，AB 与向量(1, ) t平行， 所以 2 20ttt. 解得t=0或1t . 当t=0时，S=3；当1t 时，4 2S . 因此，四边形ADBE的面积为3或4 2. （2018 年全国三卷理科）20. 已知斜率为 的直线 与椭圆交于 ，
8、 两点，线 段的中点为 （1）证明：； （2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且证明：，成等差数 列，并求该数列的公差 【答案】 （1） （2）或 【解析】分析： （1）设而不求，利用点差法进行证明。 （2） 解出 m,进而求出点 P 的坐标， 得到,再由两点间距离公式表示出， 得到直 的 方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。 详解： （1）设，则. 两式相减，并由得 . 由题设知，于是 . 由题设得，故. （2）由题意得，设，则 . 由（1）及题设得. 又点P在C上，所以，从而，. 于是 . 同理. 所以. 故，即成等差数列. 设该数列的公差为d，则 . 将代入得. 所以l的方程为，
9、代入C的方程，并整理得. 故，代入解得. 所以该数列的公差为或. （2018 年全国二卷理科） 19. 设抛物线的焦点为 ， 过 且斜率为的直线 与 交于 ， 两点， （1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程 【答案】(1)y=x1,(2)或 【解析】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利 用韦达定理代入求出斜率，即得直线 的方程； （2）先求 AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系， 再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系， 解方程组可得圆心坐标以及半径， 最后写出圆 的标准方程. 详解： （1）由题意得F（1，0） ，l的方程为y=k（x1） （k
10、0） 设A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由得 ，故 所以 由题设知，解得k=1（舍去） ，k=1 因此l的方程为y=x1 （2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2） ，所以AB的垂直平分线方程为 ，即 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0） ，则 解得或 因此所求圆的方程为 或 点睛：确定圆的方程方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心和半径 有关， 则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程 组，从而求出的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、 E、F的方程组，进而求出D、E
11、、F的值 （2018 年全国一卷理科）19. 设椭圆的右焦点为 ，过 的直线 与 交于两 点，点的坐标为. （1）当 与 轴垂直时，求直线的方程； （2）设 为坐标原点，证明：. 【答案】(1)AM的方程为或. (2)证明见解析. 【解析】分析：(1)首先根据 与 轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入椭 圆方程求得点A的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； (2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况 比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结 果. 详解： （1）由已知得，l的方程为x=1. 由已知可得，
12、点A的坐标为或. 所以AM的方程为或. （2）当l与x轴重合时，. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为， 则，直线MA，MB的斜率之和为. 由得 . 将代入得 . 所以，. 则. 从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以. 综上，. 点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与 椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的 时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需 要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组
13、，之后韦达定 理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论. 17 年北京理科 （18） （本小题 14 分） 已知抛物线C：y 2=2px 过点P（1，1）.过点（0， 1 2 ）作直线l与抛物线C交于不同的 两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. （）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （）求证：A为线段BM的中点. 解： （）由抛物线C： 2 2ypx 过点P（1，1） ，得 1 2 p . 所以抛物线C的方程为 2 yx. 抛物线C的焦点坐标为（ 1 4 ，0） ，准线方程为 1 4 x . （）由题意，设直线l的方程为
14、1 2 ykx（0k ） ，l与抛物线C的交点为 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy. 由 2 1 2 ykx yx ，得 22 4(44)10k xkx . 则 12 2 1k xx k ， 12 2 1 4 x x k . 因为点P的坐标为（1，1） ，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为 11 ( ,)x y. 直线ON的方程为 2 2 y yx x ，点B的坐标为 21 1 2 ( ,) y y x x . 因为 21122112 11 22 2 2 y yy yy yx x yx xx 122112 2 11 ()()2 22 kxxkxxx x x 1221 2 1
15、 (22)() 2 kx xxx x 22 2 11 (22) 42 k k kk x 0， 所以 21 11 2 2 y y yx x . 故A为线段BM的中点. 17 年全国一卷理科 20.（12 分）定点问题 已知椭圆C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为 1，证明：l过定点. 20.（12 分）解： （1）由于 3 P， 4 P两点关于y轴对称，故由题设知C经
16、过 3 P， 4 P两点. 又由 2222 1113 4abab 知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab ，解得 2 2 4 1 a b . 故C的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2， 如果l与x轴垂直， 设l：x=t， 由题设知0t ， 且| | 2t ， 可得A，B的坐标分别为 （t， 2 4 2 t ） ， （t， 2 4 2 t ）. 则 22 12 4242 1 22 tt kk tt ，得2t ，不符合题设. 从而可设l：ykxm（1m ）.将ykxm代入 2 2 1 4 x y得 222 (41)
