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1、2020/8/15,控制工程基础,控制工程基础（第五章）,清华大学,2020/8/15,控制工程基础,第五章 控制系统的稳定性分析 5.1 系统稳定性的基本概念 5.2 系统稳定的充要条件 5.3 代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz判据） 5.4 乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据） 5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 5.6 由伯德图判断系统的稳定性 5.7 控制系统的相对稳定性 5.8 李雅普诺夫稳定性方法,2020/8/15,控制工程基础, 见光盘课件（第五章第一节）,2020/8/15,控制工程基础,系统稳定的充要条件对于 上图所示控制系统，有,2020/8/
2、15,控制工程基础,撤除扰动，即 按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于零，即当 时，上式成立，以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一。,2020/8/15,控制工程基础,对应闭环系统特征根的实部，因此对于定常线性系统，若系统所有特征根的实部均为负值，则零输入响应最终将衰减到零，这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就是不稳定的。由此，可得出控制系统稳定的另一充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函
3、数的极点全部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在s平面的左半面。,2020/8/15,控制工程基础,劳斯稳定性判据 这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的。设系统特征方程为 式中， 为系统的特征根。,2020/8/15,控制工程基础,由根与系数的关系可求得,2020/8/15,控制工程基础,从上式可知，要使全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件。 （1）特征方程的各项系数 (i=0，1，2，n)都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足上式；此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。 （2）特征方程的各项系数的符
4、号都相同，才能满足上式，按照惯例， 一般取正值，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即 0。但这只是一个必要条件, 既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件。,2020/8/15,控制工程基础,同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号，则系统一定稳定。 劳斯阵列为,2020/8/15,控制工程基础,其中系数根据下列公式计算： 系数的计算，一直进行到其余的值都等于零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c，d, e等各行的系数，,2020/8/15,控制工程基础,2020/8/15,控制工程基础,这种过程一直进行到第n行被算完为止。系数的完整阵列呈现为三角形。
5、在展开的阵列中，为了简化其后的数值计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行。这时，并不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。 例: 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,2020/8/15,控制工程基础,解： 首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列 由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正值，所以控制系统稳定。,2020/8/15,控制工程基础,例2 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列 第一列中系数
6、改变符号两次，说明闭环系统有两个正实部的根，控制系统不稳定。,2020/8/15,控制工程基础,对于特征方程阶次低（n3）的系统，劳斯判据可化为如下简单形式，以便于应用。 二阶系统特征式为 ，劳斯表为 故二阶系统稳定的充要条件是,2020/8/15,控制工程基础,三阶系统特征式为 ，劳斯表为 故三阶系统稳定的充要条件是,2020/8/15,控制工程基础,例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。 解：系统闭环传递函数为,2020/8/15,控制工程基础,特征方程为 根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足 故使系统稳定的K值范围为 0K6 见光盘课件（第五章第三节）,
7、2020/8/15,控制工程基础,例: 设控制系统的特征方程式为 试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。 解： 首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。 各系数排成如下的行列式,2020/8/15,控制工程基础,由于 故该系统稳定。,2020/8/15,控制工程基础,米哈伊洛夫（）定理 米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理，其表述为： 设n次多项式D（s）有P个零点位于复平面的右半面，有q个零点在原点上，其余n-P-g个零点位于左半面，则当以s=j代入D（s）并令从0连续增大到时，复数D（j）的角增量应等于,2020/8/15,控制工程基础,证：（1）设S1为负实根，对于矢量
8、（S-S1）, 当S：0j变化时 图5-4 负实根情况,2020/8/15,控制工程基础,图5-5 具有负实部的共轭复根情况 因此，（n-p-q）个左根的总角变化量为（n-p-q）/2,2020/8/15,控制工程基础,设S2、S3为具有负实部的共轭复根， S2=-a+jb (a0,b0) S3=-a-jb 对于矢量（S-S2）和（S-S3）, 当S：0j变化时,2020/8/15,控制工程基础,设 Sm为正实根，对于矢量（S-Sm）, 当S：0j变化时 图5-6 正实根情况,2020/8/15,控制工程基础,2020/8/15,控制工程基础,设Sm+1、Sm+2为具有正实部的共轭复根， Sm
9、+1=c+jd (c0,d0) Sm+2=c-jd 对于矢量（S- Sm+1）和（S- Sm+2）, 当S：0j变化时 因此， p个左根的总角变化量为p(-/2)。,2020/8/15,控制工程基础,另外，原点根不引起角变化量。 综上， 推论：如果n次多项式D(s）的所有零点都位于复平面的左半面，则当以s=j代入D（s）并命从0连续增大到时，复数D（s）的角连续增大,2020/8/15,控制工程基础,乃奎斯特稳定性判据 设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为 , 则其开环传递函数为,2020/8/15,控制工程基础,分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统开环特征多项式。由于系统开环传递
10、函数分母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次相同，均为n阶。,2020/8/15,控制工程基础,（1）如果开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论， 这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论， 则,2020/8/15,控制工程基础,（2）如果开环特征多项式有P个根在s右半平面，q个零点在原点，其余（n-p-q）个根在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论， 这时如果闭环系统是稳定的，即 的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，,2020/8/15,控制工程基础,则 或开环乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为 ，系统闭环后就是稳定的。也就是说，对于
11、一个稳定的闭环系统而言，当从0连续增大到时，开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为180；开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为90。,2020/8/15,控制工程基础,这样，闭环系统是否稳定，可以从开环频率特性的角增量来判断。 设开环特征多项式在右半平面有p个零点，原点处有q个零点，其余（n-p-q）个零点在左半平面，则乃奎斯特稳定判据可表述为：对于系统开环乃氏图，当从0到变化时，其相对（-1，j0）点的角变化量为 时，系统闭环后稳定。,2020/8/15,控制工程基础,例: 某反馈控制系统如图5-10所示。试问k为何值时，系统稳定。 解： 系统开环传递函数,2020/8/15,控
12、制工程基础,故p=1,q=0。 当K1时，频率特性为直径大于1的半圆，其频率特性如上图所示，可见 此时系统稳定。 当0K1时，频率特性为直径小于1的半圆，其频率特性如上图所示，可见 此时系统不稳定。 见光盘课件（第五章第四节）,2020/8/15,控制工程基础,例9 某反馈控制系统开环传递函数为 当K为不同值时的频率特性，如图所示，试判别其稳定性。,2020/8/15,控制工程基础,解：因为p=0,q=1, 故使系统稳定的条件应为 显然，对于K10的频率特性，满足上式，系统稳定。对于k=40的频率特性，当0变化时， 所以，这时系统不稳定。,2020/8/15,控制工程基础,乃奎斯特稳定性判据的
13、另一表述 令从-增长到0，相应得出的乃氏图是与从0增长到十得出的乃氏图以实轴对称的，例如图所示的乃氏图。,2020/8/15,控制工程基础,当开环特征式具有零根时，对应的乃氏曲线不封闭。为使其封闭，实用中可将其处理成左根，如下图所示，其中为非常小的正数，从090。,2020/8/15,控制工程基础,当开环特征式有右根时，乃氏判据可表述为：如果开环特征式具有p个右根，对应封闭的乃氏曲线逆时钟包围（-1，j0）点p圈，则系统闭环后稳定；否则不稳定。 对于没有右半平面的极点，乃氏判据就变为： 如果G(j）曲线包围（-1，j0）点，系统不稳定。 如果G（j）曲线不包围（-1，j0）点，系统稳定。,20
14、20/8/15,控制工程基础,例： 某系统开环传递函数为 将 代入，得 乃氏图如下图所示。开环特征式没有右根，封闭的乃氏曲线没有包围（-1，j0）点，则系统闭环后稳定。,2020/8/15,控制工程基础,2020/8/15,控制工程基础,原点根也可处理成右根，当处理成右根时，如下图所示，其中为非常小的正数，从18090。,2020/8/15,控制工程基础,例：某系统开环传递函数为 将 代入，得 乃氏图如下图所示。开环特征式有一个右根，封闭的乃氏曲线逆时钟包围（-1，j0）点1圈，则系统闭环后稳定。,2020/8/15,控制工程基础,2020/8/15,控制工程基础,应用逆Nyquist图的Ny
15、quist稳定判据 Nyquist稳定判据也可以采用逆Nyquist图使用。采用逆Nyquist图的稳定判据可以从顺Nyquist图的稳定判据推导出来。判据表述如下：如果s沿D形围线变化一周时，G(s)H(s)逆时针方向包围(-1,j0)点的周数减去G(s)H(s)逆时针方向包围原点的周数等于G(s)H(s)在右半平面的极点数目p，则闭环系统是稳定的。,2020/8/15,控制工程基础,例：已知系统的开环传递函数为 要求判断闭环系统的稳定性。 由开环传递函数得,2020/8/15,控制工程基础,当s沿广义D形围线变化一周时，逆Nyquist图逆时针方向包围(-1,j0) 0周, 减去逆Nyquist图逆时针方向包围原点0周,等于0。又因为右极点数p=o，所以闭环系统稳定。,2020/8/15,控制工程基础,并联延时环节的系统稳定性 如下图所示，这时系统的开环传递函数为 显然，G(s)H(s)由两项组成，直接做乃氏图往往感到困难。设系统闭环特征方程为 将此方程写为 于是就可研究是否包围（-11- ）的情况，进而判定闭环系统的稳定性。（-11- ）可看成扩大的（-1，j0）点，必要时可将（-11- ）简化。,2020/8/15,控制工程基础,2020/8/15,控
