《欧拉公式 (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《欧拉公式 (2)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、欧拉公式,欧拉,欧拉公式,著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用f(x)表示函数，首先用表示连加，首先用i表示虚数单位在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式,一、数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表,规律：,V+F-E=2,4,6,4,8,6,12,6,8,12,9,8,15,（欧拉公式）,简单多面体：,表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。,观察下列几何体是否满足欧拉公式
2、：,问题2：如何证明欧拉公式,问题2：如何证明欧拉公式,思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中的多边形个数、顶点数、边数分别为,思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, nF边形，各个面的内角总和是多少？,(n1-2) 1800+ (n2-2) 1800+ (nF-2) 1800=(n1+n2+nF-2F） 1800,思考3： n1+n2+nF和多面体的棱数E有什么关系,n1+n2+nF=2E,多边形内角和=（E-F）3600,问题2：如何证明欧拉公式,思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？,2（m-2)
3、 1800+(V-m) 3600=(V-2) 3600,（E-F）3600= (V-2) 3600,即V+F-E=2,二、欧拉公式的应用,1、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种。计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？,问题3:欧拉公式的应用,例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，
4、各面的形状分别为五边星或六边形两种计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？,解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个,由题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E= （360）,根据欧拉公式，可得 60+（x+y) （360）=2,另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即 （5x+6y)= （360）,由以上两个方程可解出 x=12,y=20,答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个,例2、有没有棱数是7 的简单多面体？,解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。,根据欧拉公式得 V+F=E+2=9,因为多面体的顶点数V4，面数F4，所以只有两种情形：,V=4，F=5或V=5，F=4。,但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体,例3、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数。,例4、足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成的多面体，问这个多面体有多少条棱？多少个顶点？,例5、求棱长为a的正八面体的全面积和体积,
