《(NEW)中国人民大学《828高等代数》历年考研真题汇编》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(NEW)中国人民大学《828高等代数》历年考研真题汇编（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目录 第1部分中国人民大学高等代数考研 真题 2000年中国人民大学449高等代数考 研真题 2001年中国人民大学449高等代数考 研真题 2002年中国人民大学449高等代数考 研真题 2003年中国人民大学450高等代数考 研真题 2004年中国人民大学450高等代数考 研真题 2005年中国人民大学450高等代数考 研真题 2006年中国人民大学494高等代数考 研真题 2007年中国人民大学436高等代数考 研真题 第2部分其他院校高等代数考研真题 2017年中山大学862高等代数考研真 题 2017年中国传媒大学高等代数考研 真题 第1部分中国人民大学高等代数考研真题 2000年中
2、国人民大学449高等代数考研真题 一、填空题（每题4分，共32分，把答案写在题中的横线上） 1第i行j列元素为1，其他元素为0的n阶方阵记为Eij，那么EijEkl _ 2设A为3阶方阵且|A|1/3，A*是A的伴随矩阵，那么|（2A）1 3A*|_，|（A*）*3（A*）1|_ 3向量组1（1，2，2）T，2（2，4，4）T，3（1，0，3）T， 4（0，4，2）T的秩为_，它的一个极大无关组为 _ 4设，是三维线性空间的一组基，T是这个空间的线性变换，它 使得 则T在，下的矩阵为_，T的全部特征值为_ 5给定P3的两组基1（1，0，1），2（2，0，1），3（1，1， 1），1（1，2，1
3、），2（2，2，1），3（2，1， 1），则由基（1，2，3）到基（1，2，3）的过渡矩阵为 _ 6若Amm，Bnn均是可逆矩阵，C是任意nm矩阵，则D 1_，如果 ，则D1_ 7设，并设Aij为元素aij的代数余子式，则A21A22 A23A24_，A31A32A33A34_ 8如果二次型f（x1，x2，xn）在实数域上合同于f（x1，x2， ，xn），那么F（x1，x2，xn）的符号差为_ 二、选择题（每小题4分，共20分，每题给出的选项中至少有一个是符 合题目要求的，把符合要求的答案写在题中的括号内） 1设i（a1i，a2i，ani）T，i1，2，n，（b1，b2， bn），则线性方程组
4、x11x22xnn在（）的条件下一定 有解 A方程的个数少于未知量的个数 Br（1，2，n）r（1，2，n，） C可由1，2，n线性表示 D1，2，n线性无关 2设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则下列说法中正确的是 （） AA可逆的充要条件是A*可逆 B若|A|0则A*0 C仅当A可逆时，AA*A*|A|AE Dr（A）n1时，A*0 3设V1，V2，Vn是欧氏空间V的互不相同的子空间，则下述结论 成立的是（） A设V1V2VnV，若V，则必属于V1，V2，Vn中的 一个 BV1V2Vn也是V的子空间 C设是V1中的一个向量，V，若（，）0，则V1 D存在一个V1，V2，但V1V2 4设A
5、、B是同阶方阵，则（）成立 A若A、B有相同的特征多项式，则A、B有相同的初等因子 B若A相似于B，则|A|B| C若A、B有相同的各阶行列式因子，则A、B相似 D若A、B均为实对称矩阵，且存在非奇异矩阵P使PTAPB，则A、B 相似 5已知T（x1，x2，xn）（0，x1，x2，xn1）是线性空间Pn 的线性变换，KerT，ImT分别表示线性变换T的核和值域，则下列结论 中正确的有（） ATn0 BKerTImTPn Cdim（KerT）dim（ImT）n Ddim（KerT）n1 三、（10分）设A（aij）是n阶方阵，其中 （1）求行列式|A|的值； （2）设WX|AX0，求W的维数及W
6、的一组基 四、（20分）已知二次型f（x1，x2）4x1x2，g（x1，x2）x12 2x1x24x22 （1）确定f，g中哪个是正定的； （2）求一个非退化的实线性替换，它把正定二次型化为规范型的同 时，把另一个二次型化成标准型，并写出此标准型 五、（8分）设多项式f（x）（f（x），f（x）g（x），且g（x） 在复数域内只有根2，3，且g（1）20 （1）求g（x）； （2）如果f（0）1620，求f（x） 六、（10分）设A是实矩阵，AT是A的转置矩阵，求证： （1）r（AAT）r（ATA）r（A）； （2）当A列满秩时，ATA是正定矩阵 2001年中国人民大学449高等代数考研真题
7、一、填空题（每题4分，共24分，把答案写在题中的横线上） 1以为根的有理数的不可约多项式为_ 2设，则A100_ 3矩阵的全部特征值为_ 4已知向量1（2，1/3，2/3），2（1/3，4/3，1）是线性方 程组 的两个解，则该方程组的全部解为_ 5二次型x12+x22+x322x422x1x22x1x32x1x42x2x34x2x4的标 准型为_，秩为_，正惯性指数为_，符号差为 _ 6设（2，2，1，1），（1/2，1，1，1/2），则的长度为 _，与的距离为_，与的夹角为_ 二、选择题（每小题4分，共20分，每题给出的选项中至少有一个是符 合题目要求的，把符合要求的答案写在题中的括号内）
8、 1矩阵的初等变换满足（） A初等行变换不改变矩阵的列秩 B初等行变换不改变矩阵的行的线性关系 C初等行变换不改变矩阵的列的线性关系 D初等行变换将行向量组变为与之等价的行向量 2设i（a1i，a2i，ami）T（i1，2，n），线性方程组x11 x22xnn0有非零解的充要条件是（） A向量组1，2，n线性相关 B零向量可由1，2，n线性表示 Cr（1，2，n）m Dr（1，2，n）n 3设A是线性空间V的线性变换，1，2，s是V中的一个向量 组，则（） A若1，2，s线性相关，则A1，A2，As也线性相关 B若1，2，s线性无关，则A1，A2，As也线性无关 CA1，A2，As的秩等于A的
9、秩 D1，2，s的秩与A1，A2，As的秩相同 4在二维实空间R2上，下列所定义的变换是线性变换的有（） AT（x1，x2）（1x1，x2） BT（x1，x2）（x2，x1） CT（x1，x2）（sinx1，x2） DT（x1，x2）（x1x2，0） 5设，是欧氏空间V的两个向量，则有（） A|2|2|2 B| C|（，）| D| 三、（16分）设 求正交矩阵P使PTAPP1AP对角形矩阵，并写出该对角形矩阵 四、（20分）全体二阶有理数矩阵构成有理数域上的线性空间V，取一 固定的有理数矩阵，在线性空间V中定义TXAXXA （1）证明T是V上的线性变换； （2）取V的一组基E11，E12，E2
10、1，E22，其中Eij为第i行第j列元素为1其 余元素为0的矩阵（i，j1，2），写出T在这组基下的矩阵； （3）证明T一定以0为特征值； （4）讨论特征值0的重数对a，b，c，d的依赖关系 五、（10分）设线性方程组 有解，其系数矩阵的秩为r，（b1，b2，bm）0证明：方程组 有nr1个线性无关的解向量，且该方程组每个解均可由这nr1个 解向量线性表示 六、（10分）设a0，求矩阵A的逆，其中 2002年中国人民大学449高等代数考研真题 2003年中国人民大学450高等代数考研真题 2004年中国人民大学450高等代数考研真题 一、（40分）判断下列结论是否成立，不成立的请举反例 以下设
11、f（x），g（x）是非零多项式，A，B是n阶方阵 1如果（f（x），g（x）1，则（f（xm），g（xm）1（其中m 是正整数） 2是f（x）的k重根，则是f（x）的（k1）重根 3AB是可逆矩阵，则A，B也是可逆矩阵 4A合同于B，则A等价于B 5A，B是正定矩阵，则AB也是正定矩阵 6向量组1，2，s，线性相关，则可由1，2，s线性表 出 7设V是一个线性空间，V1，V2是V的子空间，且dimVdimV1 dimV2，则VV1V2 81，2是A的属于的特征向量，则12也是A的属于的特征向 量 9如果同时是A和B的特征向量，则是AB的一个特征向量 10A是正交矩阵，则|A|1 二、（20分）
12、填空 1设a0，则axb除多项式f（x）的余数为_ 2设2是多项式x64x5x420 x316x216x16的k重根，则k _ 3_ 4_ 5若二次型f（x1，x2，x3）2x12x223x322x1x2tx2x3正定，则t 取值为_ 三、（20分）令 V在矩阵的加法和数量乘法下构成一个线性空间，定义V中的线性变换A 为：对任意的XV，有AXCX。求： （1）在V中找一组基，写出A在这组基下的矩阵； （2）找出一组基，使A的矩阵为对角形； （3）找可逆矩阵T，使T1AT为对角矩阵； （4）对A的每个特征值找出A的全部特征向量 四、（20分）设 求正交矩阵T，使T1AT成对角矩阵 五、（10分）证明平面上三条互异直线 相交于一点的充分必要条件是abc0 六、（20分）设A、B、C分别是rs，sm，mn矩阵，r（B） r（AB）求证： （1）线性方程组BX0与ABX0同解； （2）r（BC）r（ABC） 七、（20分）设A、B是nn实对称矩阵，A正定证明： （1）AB可对角化； （2）若B也正定，则AB的特征值全是正的 2005年中国人民大学450高等代数考研真题 2006年中国人民大学494高等代数考研真题 2007年中国人民大学436高等代数考研真题 第2部分其他院校高等代数考研真题 2017年中山大学862高等代数考研真题 2017年中国传媒大学高等代数考研真题
