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1、判别式的八种应用 一、求方程(组)的解及解的取值范围例1 若x22xy26y100，x，y为实数求x，y(原初中代数第四册第207页3(2)题)解：将方程看成是关于x的一元二次方程，由于x，y为实数 224(y26y10)4(y3)20即(y3)20，于是y3，进而得x1例2 已知a，b，c为实数，满足abc0，abc8，求c的取值范围(第一届“希望杯”全国数学竞赛题)解：abc0，abc8，例3 已知实数x，y，z满足x6y，z2xy9，求x，y的值证明：x+y6，xy=z2+9则x，y是一元二次方程a26az290的两个实数根，则有364(z29)4z20，即z20因z为实数，z0，从而0
2、，故上述关于a的方程有相等实根，即xy3二、判断三角形形状例4 若三角形的三边a，b，c满足a(ab)b(bc)c(ca)0试判断三角形形状证明：将原式变形为b2(ac)ba2c3ac0，由于a，b，c为实数，关于b的一元二次方程有实根，(ac)24(a2c2ac)0整理得3(ac)20，即(ac)20，故ac，把ac代入原式，得bc，从而有abc，所以三角形为等边三角形三、求某些字母的值例5 k为何值时，(x1)(x3)(x5)(x7)k是一完全平方式解：原式(x28x7)(x28x78)k(x28x7)28(x28x7)k令(x28x7)28(x28x7)k0，因原式是完全平方式，则其根的
3、判别式，824k0，即k16例6 如果x2y2mx5y6能分解成两个一次因式的积，试求m的值解：令x2mx(y25y6)0，则关于x的方程的根的判别式4y220ym224欲使原式能分解成两个一次因式乘积，必须“”是一完全平方式，从而有4y220ym2240的根的判别式m21，即m1例7 a为有理数，问：b为何值时，方程x24ax4x3a22a4b0的根是有理数解：方程整理为x24(1a)x(3a22a4b)0它的判别式4(a26a4b4)，由于4(a26a4b4)是有理数a的二次三项式即 4(a26a4b4)0的根的判别式四、证明不等式令y(a2b2c2)x22(abc)x3，易知y(ax1)
4、2(bx1)2(cx1)20因为a2b2c20，且对任意的x值y0，故有4(abc)243(a2b2c2)0，所以(abc)23(a2b2c2)五、求函数的最大值最小值 解：令x2-x+1=0，它的判别式=-30，可见x为一切实数时，有x2-x+10，原式变形为(1y)x2(y5)x(1y)0，要使x为实数，则有(y5)24(1y)20六、证明实数存在性问题例10 若ab2(cd)，a，b，c，d均为实数，求证方程x2axc0和x2bxd0至少有一个方程有实根证明：假设方程x2axc0和x2bxd0都没有实根从而有a2b22ab，即(ab)20，与(ab)20矛盾，因此假设不成立，原题得证七、在解三角形中的应用例11 在ABC中，AC1，AB2，求B的范围解：设BCx，由余弦定理得1x22222xcosB，即x24cosBx30八、在平面几何中的应用例12 如图1,已知：ABC中，D为BC边上任意一点，DEBC，DE与AC交于E,的面积S的一半(1989年沈阳市中考试题)设ADE的面积为S1，EHC的面积为S2，
