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1、判别式的八种应用 一、求方程(组)的解及解的取值范围例1 若x22xy26y100,x,y为实数求x,y(原初中代数第四册第207页3(2)题)解:将方程看成是关于x的一元二次方程,由于x,y为实数 224(y26y10)4(y3)20即(y3)20,于是y3,进而得x1例2 已知a,b,c为实数,满足abc0,abc8,求c的取值范围(第一届“希望杯”全国数学竞赛题)解:abc0,abc8,例3 已知实数x,y,z满足x6y,z2xy9,求x,y的值证明:x+y6,xy=z2+9则x,y是一元二次方程a26az290的两个实数根,则有364(z29)4z20,即z20因z为实数,z0,从而0
2、,故上述关于a的方程有相等实根,即xy3二、判断三角形形状例4 若三角形的三边a,b,c满足a(ab)b(bc)c(ca)0试判断三角形形状证明:将原式变形为b2(ac)ba2c3ac0,由于a,b,c为实数,关于b的一元二次方程有实根,(ac)24(a2c2ac)0整理得3(ac)20,即(ac)20,故ac,把ac代入原式,得bc,从而有abc,所以三角形为等边三角形三、求某些字母的值例5 k为何值时,(x1)(x3)(x5)(x7)k是一完全平方式解:原式(x28x7)(x28x78)k(x28x7)28(x28x7)k令(x28x7)28(x28x7)k0,因原式是完全平方式,则其根的
3、判别式,824k0,即k16例6 如果x2y2mx5y6能分解成两个一次因式的积,试求m的值解:令x2mx(y25y6)0,则关于x的方程的根的判别式4y220ym224欲使原式能分解成两个一次因式乘积,必须“”是一完全平方式,从而有4y220ym2240的根的判别式m21,即m1例7 a为有理数,问:b为何值时,方程x24ax4x3a22a4b0的根是有理数解:方程整理为x24(1a)x(3a22a4b)0它的判别式4(a26a4b4),由于4(a26a4b4)是有理数a的二次三项式即 4(a26a4b4)0的根的判别式四、证明不等式令y(a2b2c2)x22(abc)x3,易知y(ax1)
4、2(bx1)2(cx1)20因为a2b2c20,且对任意的x值y0,故有4(abc)243(a2b2c2)0,所以(abc)23(a2b2c2)五、求函数的最大值最小值 解:令x2-x+1=0,它的判别式=-30,可见x为一切实数时,有x2-x+10,原式变形为(1y)x2(y5)x(1y)0,要使x为实数,则有(y5)24(1y)20六、证明实数存在性问题例10 若ab2(cd),a,b,c,d均为实数,求证方程x2axc0和x2bxd0至少有一个方程有实根证明:假设方程x2axc0和x2bxd0都没有实根从而有a2b22ab,即(ab)20,与(ab)20矛盾,因此假设不成立,原题得证七、在解三角形中的应用例11 在ABC中,AC1,AB2,求B的范围解:设BCx,由余弦定理得1x22222xcosB,即x24cosBx30八、在平面几何中的应用例12 如图1,已知:ABC中,D为BC边上任意一点,DEBC,DE与AC交于E,的面积S的一半(1989年沈阳市中考试题)设ADE的面积为S1,EHC的面积为S2,