高中物理奥赛经典方法类比法

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1、高中物理奥赛经典 类比法第 1页（共 9 页） 十二、类比法 方法简介 类比法是根据两个研究对象或两个系统在某些属性上类似而推出其他属性也类似的 思维方法，是一种由个别到个别的推理形式。其结论必须由实验来检验，类比对象间共 有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。 在研究物理问题时，经常会发现某些不同问题在一定范围内具有形式上的相似性，其 中包括数学表达式上的相似性和物理图像上的相似性。类比法就是在于发现和探索这一 相似性，从而利用已知系统的物理规律去寻找未知系统的物理规律。 赛题精讲 例 1：图 121 中 AOB 是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（图中纸面）上， 夹角 = 1（为了能看

2、清楚，图中画的是夸大了的）。现将一质点在BOA 面内从 A 处以 速度 v = 5m/s 射出，其方向与AO 间的夹角 = 60，OA = 10m 。设质点与桌面间的摩擦 可忽略不计， 质点与 OB 面及 OA 面的碰撞都是弹性碰撞， 且每次碰撞时间极短，可忽略不计，试求： （ 1） 经过几次碰撞质点又回到A 处与 OA 相碰？（计 算次数时包括在A 处的碰撞） （ 2）共用多少时间？ （ 3）在这过程中，质点离O 点的最短距离是多少？ 解析 ：由于此质点弹性碰撞时的运动轨迹所满足的 规律和光的反射定律相同，所以可用类比法通过几何光学的规律进行求解。即可用光在 平面镜上反射时， 物像关于镜面对

3、称的规律和光路是可逆 的规律求解。 （ 1）第一次，第二次碰撞如图121甲所示，由三 角形的外角等于不相邻的一两个内角和可知MBA = 60+ 1 = 61， 故第一次碰撞的入射角为90 61= 29。 第二次碰撞，BCA = 61+ 1= 62，故第二次 碰撞的入射角为90 62 = 28。 因此，每碰一次，入射角要减少1，即入射角为29、 28、 0，当入射角 为 0时，质点碰后沿原路返回。包括最后在A 处的碰撞在内，往返总共60 次碰撞。 （2）如图 121乙所示， 从 O 依次作出与OB 边 成 1、 2、 3、的射线，从对称规律可推知， 在 AB 的延长线上，BC、 C D、 DE、

4、分 别和 BC、CD、DE、相等，它们和各射线的交角即 为各次碰撞的入射角与直角之和。碰撞入射角为0 时，即交角为90时开始返回。故质点运动的总路程 图 121乙 高中物理奥赛经典 类比法第 2页（共 9 页） 为一锐角为60的 Rt AMO 的较小直角边AM 的二倍。 即： s = 2AM = 2AOcos60= 10m 所用总时间：t = s v = 10 5 = 2s （3）碰撞过程中离O 的最近距离为另一直角边长：OM = AOsin60= 53m （此题也可以用递推法求解，读者可自己试解。） 例 2：有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开， 小船被风刮跑，

5、其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h 。 同时岸上一人从停放点起追 赶小船，已知他在岸上跑的速度为4.0km/h ，在水中游的速度为2.0km/h ，问此人能否追 及小船？ 解析 ：费马原理指出：光总是沿着光程为极小值的路径传播。据此可以证明，光在平 面分界面上的折射是以时间为极小值的路程传播。本题求最短时间问题，可类比类在平面 分界面上的折射情况，这样就把一个运动问题通过类比可转化为光的折射问题求解。 如图 122 所示，船沿OP 方向被刮跑，设人从O 点出发先沿湖岸跑，在A 点入水游到OP 的 B 点，如果 符合光的折射定律，则所用时间最短。根据折射定律： o sin 90 sin

6、= 4.0 2.0 ，解得： = 30 = 180 15 (90+) = 45 在这最短时间内，若船还未到达B 点，则人能追上 小船，若船已经通过了B 点，则人不能追上小船，所以 船刚好能到达B 点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速vm 。 根据正弦定理： m o v t sin120 = 1 1 o v t sin 45 = 22 o v t sin15 又： t = t1+ t2 由以上两式可解得：vm= o 12 oo 12 v v sin120 v sin15v sin 45 = 22km/h 此即小船能被人追上的最大速度，而小船实际速度只有2.5km/h ，小于 22km/h ，

7、 所以人能追上小船。 例 3：一只蚂蚁洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距蚂蚁洞中心的距离L 成反 比，当蚂蚁爬到距蚂蚁洞中心距离L1= 1m 的 A 点时，速度大小为 v1= 20cm/s ，问当蚂 蚁爬到距蚂蚁洞中心L2= 2m 的 B 点时，其速度大小 v2= ?蚂蚁从 A 点到达 B 点所用的时 间 t =？ 解析 ：虽然蚂蚁的运动我们不能直接用已学过的运动学公式求解，但只要能找到描述 蚂蚁运动的公式和学过的公式的形式相同，便可借助学过的公式形式使问题得以解决。 由已知得：蚂蚁在距离巢中心处的速度为v = k 1 L ，代入已知得：k = vL = 0.21 = 0.2m 2/s ，

8、所以当 L2= 2m 时，其速度v2= 2 k L = 0.1m/s 高中物理奥赛经典 类比法第 3页（共 9 页） 由速度的定义得蚂蚁从L 到 L + L所需时间为 t 所以： t = L v = 1 k L L 类比初速v0= 0 的匀加速直线运动的两个基本公式 sv t vat 在 t 到t 时刻所经位移s 为： s = a t t 比较、两式可以看出两式的表述形式相同。 据此，可得蚂蚁问题中的参量t 和 L 分别类比为初速为零的匀加速直线运动中的s 和 t 。而 1 k 相当于加速度a ，于是可得：在此蚂蚁问题中t = 1 2 1 k L 2 令 t1对应 L1 ，t2对应 L2，则所

9、求时间为： 2 11 2 22 1 tL 2k 1 tL 2k 代入已知可得从A 到 B 所用的时间为： t = t2t1= 1 2k 2 2 L 1 2k 2 1 L= 2 2 20.2 2 1 20.2 = 0.75s （此题也可以用图象法、等效法求解，读者可试试。） 例 4：如图 123 所示为一很大的接地导体板，在与导体板 相距为 d 的 A 处放一带电量为q 的点电荷。 （1）试求板上感应电荷在导体内P 点产生的电场强度； （2）试求感应电荷在导体外P点产生的电场强度，P 与 P对导体板右表面是对称的； （3）在本题情形中根据场强分析证明导体表面附近的电场 强度的方向与导体表面垂直；

10、 （4）试求导体上的感应电荷对点电荷q 的作用力； （5）若在切断导体板与地的连线后，再将+Q 电荷置于导体板上，试说明这部分电荷 在导体板上如何分布可达到静电平衡。（略去边缘效应） 解析 ：面电荷问题有时可用点电荷场来类比，使问题大大简化。（ 1）因导体处于静电 平衡状态， 内部场强为零，因此感应电荷在P点产生的场强可用点电荷场类比，若在 A 点 放 +q 在导体中P 点产生的场和感应电荷 在 P 点产生的场相同，因此有E = k 2 q r ， 方向如图123甲所示。 （r 为 AP 间距 离） （2）同理，感应电荷在导体外P 点产生的电场跟把+q 放在与 A 关于导体 右表面对称的A点产

11、生的电场相同，即 图 123 图 123甲图 123乙 高中物理奥赛经典 类比法第 4页（共 9 页） P E= k 2 q r ，方向如图123 甲所示。 （3）取导体外极靠近导体表面的一点P1 ，此处电场由感应电荷和q 共同产生，可 类比等量异号点电荷形成的电场，导体表面可类比为等势面，场强和等势面是垂直的，因 此 P1点的场强方向跟导体表面垂直。如图 123乙所示。 （4）感应电荷对q 的作用力也可类比在A点放的 +q 对它的库仑力来求。如图12 3乙所示。 F = 2 kq (2d) q = 2 2 kq 4d （5）切断接地线后， 感应电荷分布不变，感应电荷和 q 在导体中产生的电场

12、强度为 零（相当于不带电情况），将 +Q 置于导体板上时，类比孤立无限大带电平板，电荷将均匀 分布 例 5：如图 124 所示为一无限多电容器连成的网络，若其中每个电容器的电容均为 C ，求此网络A 、 B 间的等效电容CAB。 解析：电容器两极板间所加电压为U ，正极板上 的电量为Q 时，电容为：C = Q U 。 电阻器两端所加电 压为 U ，通过的电流为I 时，电阻为R = U I 。 在 C 、R 表达式中U 相同， Q 与 I 类比，但两个式子显然有颠倒的关系，若为电容 器引入 C* = 1 C = U Q ，C* 便可与 R 类比，通过对R 的求解，求出C* ，再求出它的倒数即 为

13、 C 。 当将阻值为R 的电阻替换电容C 时，可以求得：AB 间的总电阻为：RAB = (3+ 1)R 现在用 C* 取代 R ，可解得： AB C= (3+ 1) C* 也即： AB 1 C = (3+ 1) 1 C 所以 AB 间的等效电容为：CAB = 31 2 C 例 6：电容器网络如图125 所示，各电容器以F为 单位的电容量数值已在图中标出。求A、B 两点之间的等效电容CAB 。 解析 ：同样用类比法为电容器引入辅助参量C* = 1 C ，则 C*的串并联公式与电阻R 的 串并联公式完全一样，而且如图125甲中两个电容网络元之间有完全类似于电阻网络 元的 Y变换。 变换公式为： a

14、C= ABCA ABBCCA CC CCC ， bC= ABBC ABBCCA CC CCC ， aC= BCCA ABBCCA CC CCC 图 124 图 125 高中物理奥赛经典 类比法第 5页（共 9 页） 图 125丙图 125乙图 125丙 通过变换公式对题中的网络进行交换，从而求解。 设 C* = 1 C 将中间同为C = 2F的电容变为C* = 1 2 ( F) 1 ，再将三个C* 组成的网络元变换为 C* = 11 22 111 222 = 1 6 ( F) 1 的三个 Y 网络元，于是将原网络等效为如图125乙网络，图 125乙中所标数值均为C* 值，为此网络可等效如图12

15、5丙网络，图中所标数值仍 是 C* 值。 因为此网络中没有电流图125丙可当作平衡的 桥式电路， 中间的 5 12 电容可拆去， 此网络又可等效为图 125丁，再类比电阻串并联公式可得： ABC= 1 6 ( F) 1 故原网络A 、B 间的等效电容为：CAB= AB 1 C = 6F 例 7：如图 126 所示，一个由绝缘细线构成的刚性圆形轨道，其半径为R 。此轨道 水平放置，圆心在O 点，一个金属小珠P 穿在此轨道上，可沿轨道无摩擦地滑动，小珠P 带电荷 Q 。已知在轨道平面内A 点（OA = rR）放有一电荷q 。若在 OA 连线上某一点 A1放电荷 q1，则给 P 一个初速度，它就沿轨

16、道做匀速圆周运动。求A1点位置及电荷q1 之值。 解析 ：因为 P 可沿圆轨道做匀速圆周运动，说明此圆轨道 是一等势线，将此等势线看成一个球面镜的一部分。已知半径 为 R ，所以此球面镜的焦距为 R 2 。 由成像公式 1 P + 1 P = 1 f 若 q 为物点， q1为像点不成立，只能是q1为物点成虚像于 图 125丁 图 126 高中物理奥赛经典 类比法第 6页（共 9 页） q ，所以有： 1 P 1 Rr = 2 R ，得到： P= R(Rr) 2rR 又因为 1 q q = P P = (Rr)(R2r) R(Rr) = R2r R 解得： q1= R R2r q 例 8：将焦距为10cm 的一块双凸透镜沿其表面的垂直方向切割成相同的两部分，把 这两部分沿垂直于主轴的方向移开一段距离 = 1cm ，并用不透明的材料将其挡住。若在 原透镜左侧主轴上，距透镜光心20cm 处放一点光源M ，如图 127 所示， 点光源能射出 波长为 0.5 m 的单色光，那么在透镜另一侧距透镜50cm 的屏幕（垂直于透镜主轴放置） 上，将出现多少亮条纹？ 解析 ：