2021届高三数学(理)“大题精练”(20200816025857)

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1、2021 届高三数学（理）“大题精练” 17已知 n S为数列 n a的前 n 项和，且满足 41 33 nn Sa 1求数列 n a的通项； 2令 11 2 nn blog a ，证明： 1 2233 4111 1111 nnn n bbb bb bb bbb 18互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机Smartphone技术不断成熟，价 格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具 .中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个 群体之一 .逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们 的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二

2、 年级 100 名同学使用手机的情况进行调查 .针对调查中获得的 “ 每天平均使用手机进行娱乐 活动的时间 ” 进行分组整理得到如图4 的饼图、(注：图中(1,i i2，7)(单位：小时)代表 分组为1,ii 的情况) 1求饼图中a 的值； 2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100 名学生每天 平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论) 3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机 进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由 19如图，已知在四棱锥SAFCD 中，平面SCD平面 AFCD ，

3、DAF ADC90 ， AD1，AF2DC4， 2SCSD ，B，E 分别为 AF，SA的中点 （1）求证：平面BDE平面 SCF （2）求二面角ASCB 的余弦值 20过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知 抛物线为 2 4xy，点 P， Q 在直线 l：1y上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为AB， CD 1当点 P在 l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果 没有，请说明理由 2当ABCD时，点 P，Q 在什么位置时，PQ取得最小值？ 21已知函数 1a fxalnxaR x ， （1）讨论 f（x）的单调性； （

4、2）证明：当1a0 时， f（x）存在唯一的零点x0，且 x0随着 a 的增大而增大 22已知曲线E 的参数方程为 2 ( 3 xcos ysin 为参数)，以直角坐标系xOy 的原点 O 为极 点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1求曲线 E 的直角坐标方程； 2设点 A 是曲线 E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中 AB，AD 分别与 x 轴， y 轴平行，点C 的坐标为3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围 231解不等式2x1x23； 2设 a，b，c 0且不全相等，若abc1，证明： 222 abcbcacab6 2021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解

5、析） 17已知 n S为数列 n a的前 n 项和，且满足 41 33 nn Sa 1求数列 n a的通项； 2令 11 2 nn blog a ，证明： 1 2233 4111 1111 nnn n bbb bb bb bbb 解： 41 1 33 nn Sa， 可得 111 41 33 aSa，解得1 1a ， 2n 时， 11 4141 3333 nnnnn aSSaa， 即有 1 1 4 nn aa，故数列 n a是以 1 1a为首项，以 1 4 为公比的等比数列， 则 11 () 4 n n a ； 2证明： 2 111 22 1 ()2 2 n nn blog alogn， 1 1

6、1111 22141 nn b bnnnn ， 12231 111111111 1 42231 nn bbb bb bnn 11 1 4141 n nn ， 11 2 2141 n nnn bbnn ， 则 122334111 1111 nnn n b bb bb bb bb b 18互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机Smartphone技术不断成熟，价 格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具 .中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个 群体之一 .逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们 的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使

7、用情况，对本校高二 年级 100 名同学使用手机的情况进行调查 .针对调查中获得的 “ 每天平均使用手机进行娱乐 活动的时间 ” 进行分组整理得到如图4 的饼图、(注：图中(1,i i2，7)(单位：小时)代表 分组为1,ii 的情况) 1 求饼图中a 的值； 2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100 名学生每天 平均使用手机的平均时间在第几组？ (只需写出结论) 3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机 进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由 解：1由饼图得：16%9%27%12% 14%

8、3%29%a 2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100 名学生每天平 均使用手机的平均时间在第4 组 3样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机 进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，若抽取的同学是高二年级的学生，则 可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、 高三的 同学则不能估计 19如图，已知在四棱锥SAFCD 中，平面SCD平面 AFCD ， DAF ADC90 ， AD1，AF2DC4， 2SCSD ，B，E 分别为 AF，SA的中点 （1）求证：平面BDE平面 SCF （2）

9、求二面角ASCB 的余弦值 （1）证明：DAF ADC90 ， DCAF， 又 B 为 AF 的中点，四边形BFCD 是平行四边形，CFBD， BD? 平面 BDE，CF? 平面 BDE ， CF平面 BDE， B，E 分别是 AF，SA的中点， SFBE， BE? 平面 BDE，SF? 平面 BDE， SF平面 BDE ， 又 CFSFF，平面BDE平面 SCF （2）取 CD 的中点 O，连结 SO， SCD 是等腰三角形，O 是 CD 中点， SO CD， 又平面 SCD平面 AFCD ，平面 SCD 平面 AFCD CD， SO平面 AFCD ，取 AB 的中点 H，连结 OH， 由题

10、设知四边形ABCD 是矩形， OHCD，SOOH， 以 O 为原点， OH 为 x 轴， OC 为 y 轴， OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 1， 1，0）， B（1， 1，0）， C（0，1， 0）， S（0，0， 1）， CA （ 1， 2，0）， CS （0， 1，1）， CB （1， 0，0）， 设平面 ASC 的法向量 m （x，y，z）， 则 20 0 m CAxy m CSyz ，取 y 1，得 m （2，1，1）， 设平面 BSC 的法向量 n （x，y，z）， 则 0 0 n CBx n CSyz ，取 y1，得 n （0，1，1）， cos 23 3 62

11、 m n mn mn ， 由图知二面角ASCB 的平面角为锐角， 二面角 ASC B的余弦值为 3 3 20过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知 抛物线为 2 4xy，点 P， Q 在直线 l： 1y上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为AB， CD 1当点 P在 l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果 没有，请说明理由 2当AB CD时，点 P，Q 在什么位置时， PQ取得最小值？ 解：1设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 0, 1 P x， 则 2 11 4xy， 2 22 4xy， 抛物线的方程可变形为

12、 21 4 yx，则 2 x y， 直线 PA 的斜率为 0 1 | 2 PAxx x ky ， 直线 PA 的方程 1 11 2 x yyxx，化简 11 2x xyy， 同理可得直线PB 的方程为 22 2x xyy， 由 0, 1 P x可得 011 x21 022 21 xy x xy ， 直线 AB 的方程为 0 21x xy，则 0 1 x y是方程的解， 直线 AB 经过定点0,1 2设, 1 P P x，, 1QQ x， 由1可知 2 P AB x k， 2 Q CD x k ， ABCD， 1 4 PQ ABCD x x kk ，即 4 PQ x x， P x， Q x 异号

13、， 不妨设0 P x，则0Qx ，且 4 Q P x x ， 4 4 PQPQP P PQxxxxx x ，当且仅当 2 P x，2 Q x时取等号， 即当2, 1P，2, 1Q时，PQ取得最小值4 21已知函数 1a fxalnxaR x ， （1）讨论 f（x）的单调性； （2）证明：当1a0 时， f（x）存在唯一的零点x0，且 x0随着 a 的增大而增大 解：（ 1）f（x）的定义域为（0，+）； 22 1 1 axaaa f x xxx ； 当 a 0时， 2 1 0fx x ，则 f（x）在（ 0，+）上单调递减； 当 a 0时， 2 1 a a x a fx x ，而 1 0 a

14、 a ； 则 f（x）在 1 0 a a ，上单调递减，在 1a a ，上单调递增； 当 1 a 0 时， f（ x） 0，则 f（x）在（ 0， +）上单调递减； 当 a 1 时， f（x）在 1 0 a a ，上单调递增，在 1a a ，上单调递减； 综上，当 a 1 时， f（ x）在 1 0 a a ，上单调递增，在 1a a ，上单调递减； 当 1 a0 时， f （x） 0，则 f（x）在（ 0，+）上单调递减； 当 a0 时， f（x）在 1 0 a a ， 上单调递减，在 1a a ， 上单调递增； （2）由（ 1）得当 1a0 时， f（x）在（ 0，+）上单调递减； f（x

15、）至多有一个零点； 又 1a0； 1 1 a ， f（1） a+10， 1 1faalna a ； 令 g（x） x1 lnx，则 11 1 x g x xx ； g（x）在（ 0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增； g（x） g（1） 0，即 x1lnx0 ，当且仅当x1 时取等号； 1 10faalna a ； f（x）存在唯一得零点 0 1 1x a ，； 由 f（x0） 0，得 0 0 1 0 a alnx x ，即 0 00 11 a lnx xx ； x0（ 1，+ ）， 0 0 1 0lnx x ； 0 0 0 1 1 x a lnx x ，即 a 是 x0的函数； 设 1

16、 1 x h x lnx x ，x（ 1，+），则 22 1 0 1 () lnx h x xlnx x ； h（x）为（ 1，+）上的增函数； a随 0 x增大而增大，反之亦成立. x0随着 a 的增大而增大 22已知曲线E 的参数方程为 2 ( 3 xcos ysin 为参数)，以直角坐标系xOy 的原点 O 为极 点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1求曲线 E 的直角坐标方程； 2设点 A 是曲线 E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中 AB，AD 分别与 x 轴， y 轴平行，点C 的坐标为3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围 解：1曲线 E 的参数方程为 2 ( 3 xcos ysin 为参数 )， 转换为直角坐标方程为： 22 1 43 xy 2设点 A 的坐标为2,3cossin ，3,3Bsin，2,2Dcos， 所以；3232ABcoscos，2323ADsinsin， 2102 7lABADsin， 所以矩形的周长的取值范围为102 7,1027 . 231解不等式2x1x23； 2设 a，b