《2020届百校尖子生联考(全国Ⅱ卷)数学(文)试题(解析版)(20200816032155)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届百校尖子生联考(全国Ⅱ卷)数学(文)试题(解析版)(20200816032155)（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 22 页 2020 届百校尖子生联考（全国ii 卷）数学（文）试题 一、单选题 1已知 R为实数集，设集合 2 |1,Py yxxR，| 22Qxx，则 RP Qe（） A1,0 , 0,1 , 1,0B |12xx C1,0,1D|1x x 【答案】 B 【解析】 求得集合P ，由补集定义可得 RP e，再根据交集定义即可求解. 【详解】 集合 2 |1,Py yxxR，| 22Qxx， 由二次函数性质可得 |1Py y ， 由补集定义可知|1 R C Py y， 则|12 R C PQxx. 故选 :B. 【点睛】 本题考查了集合中补集和交集的混合运算，属于基础题. 2已知
2、向量1,2a r ，2,bm r ，若 / /ab ，则ab（） A1B 2 C2D 5 【答案】 D 【解析】 根据向量平行时的坐标关系，代入求得参数m，即可由向量的坐标运算求得 ab，再根据模的定义即可求解 . 【详解】 若 / /ab ，则122m, 解得4m， 1, 2ab， 第 2 页 共 22 页 5ab 故选:D. 【点睛】 本题考查了平面向量平行的坐标关系，向量减法的坐标运算及模求法，属于基础题. 3已知O为坐标原点，角 的终边经过点(3,)(0)Pm m且 10 sin 10 m ，则 sin2() A 4 5 B 3 5 C 3 5 -D 4 5 【答案】 C 【解析】 根
3、据三角函数的定义，即可求出1m，得出(3, 1)P，得出sin和cos， 再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果. 【详解】 根据题意， 2 10 sin 10 9 m m m ，解得1m， 所以 (3, 1)OP ， 所以 103 10 sin,cos 1010 ， 所以 3 sin 22sincos 5 . 故选： C. 【点睛】 本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力. 4已知命题 p：“0,11,a ，函数1log1 a yx的图象过点P ” 逆否 命题为真，则P 点坐标为（） A2,1B1,1C1,2D2,2 【答案】 A 【解析】 根据命题与逆否命题的真假关系可知
4、命题p 为真命题， 结合对数函数性质即可 求得所过定点的坐标. 【详解】 由逆否命题与原命题同真同假，可知命题 p 为真命题， 由对数函数性质可知，函数 1log1 a yx过定点时 11x， 第 3 页 共 22 页 2x， 代入可求得1y， 所以点 P的坐标为 2,1. 故选： A. 【点睛】 本题考查了原命题与逆否命题的关系，对数函数图像与性质的应用，属于基础题. 5下列函数中既关于直线 1x 对称，又在区间 1,0上为增函数的是() A sinyx. B|1|yx C cosyx Dee xx y 【答案】 C 【解析】 根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详
5、解】 A 中，当 1x 时，sin01yx，所以sinyx不关于直线 1x 对称，则 A错 误； B 中， 1,1 1 1,1 xx yx xx ，所以在区间 1,0上为减函数，则B 错误； D 中， xx yfxee ，而 22 02,2ffee ，则02ff，所以 ee xx y 不关于直线1x对称，则 D错误； 故选： C. 【点睛】 本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题. 6 已知函数 2 7 1 x fx x 在点1,1f 处的切线的倾斜角为 ， 则 sin3cos 3cossin （） A 1 2 B 1C2D6 【答案】 A 【解析】 根据函
6、数解析式，先求得导函数，由导函数几何意义可求得在点 1,1f处 的切线斜率tank，再由齐次式求法即可得解. 【详解】 第 4 页 共 22 页 函数 2 7 1 x fx x ， 求得导函数为 2 2 27 1 x x fx x ， 所以11kf， 即tan1， 所以 sin3costan31 3cossin3tan2 . 故选： A. 【点睛】 本题考查了导数的几何意义应用，齐次式求值的简单应用，属于基础题. 7已知函数( )2 tan()(0)f xx的图象与直线2y的相邻交点间的距离为 ， 若定义 , max, , a ab a b b ab ，则函数( )max( )h xf x，(
7、 )cos f xx在区间 3 , 22 内的图象是 () AB CD 【答案】 A 【解析】 由题知( )2 tan()(0)f xx，利用T求出，再根据题给定义，化 简求出h x的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案. 【详解】 根据题意，( )2 tan()(0)f xx的图象与直线2y的相邻交点间的距离为， 所以( )2tan()(0)f xx的周期为， 则1 T ， 第 5 页 共 22 页 所以 2sin, 2 ( )max 2tan ,2sin 3 2tan , 2 x x h xxx x x ， 由正弦函数和正切函数图象可知 A正确 . 故选： A. 【点睛】
8、本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定 义的理解 . 8我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术 ” ，用现代式子表示即 为：在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，则ABC的面积 2 222 21 () 42 abc Sab.根据此公式，若cos3cos0aBbcA，且 222 2abc ，则ABC的面积为（） A 2 B 2 2 C 6 D2 3 【答案】 A 【解析】 根据cos3cos0aBbcA，利用正弦定理边化为角得 sincoscossin3sincos0ABABCA，整理为sin13cos0CA，根据 sin0
9、C，得 1 cos 3 A，再由余弦定理得3bc，又 222 2abc ，代入公式 2 222 21 () 42 cba Sbc求解 . 【详解】 由cos3cos0aBbcA得sincoscossin3sincos0ABABCA， 即sin3sincos0ABCA，即sin1 3cos0CA， 因为 sin0C，所以 1 cos 3 A， 由余弦定理 2222 2cos2 3 abcbcAbc，所以3bc， 第 6 页 共 22 页 由ABC的面积公式得 2 222 22211 ()312 424 cba Sbc 故选： A 【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算
10、求解的能力，属于中档 题 . 9在等腰梯形 ABCD中，/ /ABDC，2ABDC ，60BAD，E为BC的中点， 则（） A 31 42 AEABADB 31 22 AEABAD C 11 42 AEABADD 31 44 AEABAD 【答案】 A 【解析】 由平面向量的线性运算可表示为 AEABBE ， AEADDCCE ，两 式相加后化简，即可由 ,AB AD表示 AE . 【详解】 依题意得 AEABBE ， AEADDCCE ， 所以 2AEABADDC ， 1 2 ABADAB 3 2 ABAD， 所以 31 42 AEABAD. 故选： A. 【点睛】 本题考查了平面向量在几何
11、中的简单应用，平面向量加法的线性运算，属于基础题. 10已知函数( )(0 x f xmm m，且 1)m的图象经过第一、二、四象限，则 |(2) |af ， 3 8 4bf ，|(0) |cf的大小关系为() Ac ba Bc ab CabcDbac 【答案】 C 第 7 页 共 22 页 【解析】 根据题意，得01m， (1)0f ，则( )f x 为减函数，从而得出函数 |( ) |f x 的单调性，可比较a和b，而|(0) | 1cfm，比较0 ,2ff，即可比较, ,a b c. 【详解】 因为( )(0 x f xmm m，且 1)m 的图象经过第一、二、四象限， 所以01m，(1
12、)0f， 所以函数( )f x 为减函数，函数|( ) |f x在( ,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 又因为 313 824 122422 ， 所以ab， 又 |(0) | 1cfm， 2 |(2) |fmm， 则 | 2 |(2) |(0) |10ffm， 即|(2) | |(0) |ff， 所以abc. 故选： C. 【点睛】 本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想 . 11已知函数( )cosf xx与( )sin(2)(0)g xx的图象有一个横坐标为 3 的交点，若函数( )g x的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 倍后，得到的函数在 0, 2 有
13、且仅有5 个零点，则 的取值范围是() A 29 35 , 24 24 B 29 35 , 24 24 C 29 35 , 24 24 D 29 35 , 24 24 【答案】 A 【解析】 根据题意， 2 cossin 33 ，求出 6 ，所以( )sin 2 6 g xx ， 根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围 . 【详解】 第 8 页 共 22 页 已知 ( )cosf xx与( )sin(2)(0)g xx 的图象有一个横坐标为 3 的交点， 则 2 cossin 33 ， 225 , 333 ， 25 36 ， 6 ， ( )sin2 6 g xx ， 若函数( )g x图
14、象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 倍，则sin 2 6 yx ， 所以当0,2x ?时，2 ,4 666 x， ( )f x 在0, 2 有且仅有5 个零点， 546 6 ， 2935 2424 . 故选： A. 【点睛】 本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想 和计算能力 . 12若不等式 32 ln(1)20axxx在区间 (0,)内的解集中有且仅有三个整数， 则实数a的取值范围是() A 932 , 2ln 2 ln 5 B 932 , 2ln 2 ln 5 C 932 , 2ln 2 ln 5 D 9 , 2ln 2 【答案】 C 【解析】 由
15、题可知，设函数( )ln(1)f xax， 32 ( )2g xxx，根据导数求出g x 的极值点，得出单调性，根据 32 ln(1)20axxx在区间 (0,)内的解集中有且 仅有三个整数，转化为( )( )f xg x在区间(0,)内的解集中有且仅有三个整数，结 第 9 页 共 22 页 合图象，可求出实数a的取值范围 . 【详解】 设函数 ( )ln(1)f xax ， 32 ( )2g xxx ， 因为 2 ( )34g xxx， 所以( )0g x， 0 x或 4 3 x， 因为 4 0 3 x时，( )0g x， 4 3 x或0 x时， ( )0g x，(0)(2)0gg，其图象如
16、下： 当0a时，( )( )f xg x至多一个整数根； 当0a时，( )( )f xg x在(0,)内的解集中仅有三个整数，只需 (3)(3) (4)(4) fg fg ， 32 32 ln 4323 ln 5424 a a ， 所以 932 2ln 2ln 5 a. 故选： C. 【点睛】 本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考 查数形结合思想和解题能力. 二、填空题 第 10 页 共 22 页 13已知函数 ln,1 ( ) 3 ,1 x x x f x x ，若( ) 1f a，则a的取值范围是_ 【答案】 0,1 ,)e 【解析】 根据分段函数的性质，即可求出a的取值范围 . 【详解】 当1a时，ln1a， ea， 当1a时，3 1 a ， 所以01a， 故a的取值范围是0,1 ,)e. 故答案为： 0,1 ,)e . 【点睛】 本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算， 属于基础题 . 14已知 sin3cos 5 3cossin ，则函数 2 cos2tansin1f
