《2021届高三数学(理)“大题精练”(20200816024557)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高三数学(理)“大题精练”(20200816024557)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、试卷第 1页，总 11页 2021 届高三数学（理）“大题精练” 17在平面四边形 ABCD中， 3 ABC， 2 ADC，2BC. （ 1）若ABC的面积为 3 3 2 ，求AC； （ 2）若 2 3AD ， 3 ACBACD，求 tanACD . 18如图，等腰梯形 ABCD中，/ /ABCD，1ADABBC ，2CD，E为CD 中点，以AE为折痕把ADE折起，使点 D到达点P的位置（P 平面 ABCE）. （）证明：AEPB； （）若直线PB与平面ABCE所成的角为 4 ，求二面角APEC的余弦值 . 试卷第 2页，总 11页 19为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体
2、育项目纳入到学生 的必修课程 .惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣， 某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100 人进行调查 . （ 1）已知在被抽取的学生中高一1班学生有6 名，其中 3 名对游泳感兴趣，现在从这 6 名学生中随机抽取3 人，求至少有 2 人对游泳感兴趣的概率； （ 2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级 以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一 8 班和高一 9 班获奖学生 中随机各抽取2 人进行跟踪调查，记选中的4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为, 求随机变量的分布列及数学期望. 班
3、级 一 1 一 2 一 3 一 4 一 5 一 6 一 7 一 8 一 9 一 10 市级 比赛获奖人数 2233443342 市级以上 比赛获奖人数 2210233212 20在平面直角坐标系xOy中，已知过点4,0D的直线l与椭圆 2 2 :1 4 x Cy 交于 不同的两点 11 ,A x y， 22 ,B xy，其中 12 0y y. （ 1）若 10 x，求OAB的面积； （ 2）在 x 轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角 形 . 试卷第 3页，总 11页 21已知实数 0a ，设函数e ax fxax （ 1）求函数fx的单调区间； （ 2
4、）当 1 2 a时，若对任意的1,x，均有 2 1 2 a fxx，求a的取值范围 注：e2.71828为自然对数的底数 22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 M 的极坐标方程为2cos，若极坐标系内异于O的三点 1, A， 2, 6 B ， 3123 ,0 6 ,C 都在曲线 M 上. （ 1）求证： 1233 ； （ 2）若过 B ，C两点直线的参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt （t为参数），求四边形OBAC的 面积 . 23已知函数( )24f xxx. （ 1）求不等式( )3f xx的解集； （ 2）若( )(1)f
5、xk x对任意xR恒成立，求k的取值范围 . 试卷第 4页，总 11页 2021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析） 17在平面四边形 ABCD中， 3 ABC， 2 ADC，2BC. （ 1）若ABC的面积为 3 3 2 ，求AC； （ 2）若 2 3AD ， 3 ACBACD，求 tanACD . 【解】（1）在ABC中，因为2BC， 3 ABC ， 13 3 sin 22 ABC SAB BCABC ， 所以 33 3 22 AB ，解得：3AB. 在ABC中，由余弦定理得： 222 2 cos7ACABBCAB BCABC 所以 7AC （ 2）设ACD，则 33 ACBACD
6、如图， 在Rt ACD中，因为 2 3AD ，所以 2 3 sinsin AD AC 在 ABC中， 3 BACACBABC ， 由正弦定理，得 sinsin BCAC BACABC ，即 22 3 3 sin sin 3 2 所以2sin sin 3 试卷第 5页，总 11页 所以 31 2cossinsin 22 ，即 3cos2sin 所以 3 tan 2 ，即 3 tan 2 ACD 18如图，等腰梯形ABCD中， / /ABCD，1ADABBC ，2CD，E为CD 中点，以AE为折痕把ADE折起，使点 D到达点 P 的位置（P 平面ABCE）. （）证明：AEPB； （）若直线 PB
7、与平面ABCE所成的角为 4 ，求二面角APEC的余弦值 . 【解】（I）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD，交 AE 于点 O， AB|CE,AB=CE ，四边形ABCE 为平行四边形，AE=BC=AD=DE ， ADE 为等边三角形，在等腰梯形ABCD 中， 3 CADE， 2 3 DABABC , 在等腰 ADB中， 6 ADBABD 2 362 DBC ,即 BD BC， BDAE， 翻折后可得：OPAE,OB AE，又 ,OPPOB OBPOB OPOBO平面平面，AEPOB平面， ,PBPOBAEPB平面； （ II）解：在平面POB 内作 PQOB,垂足为 Q， 因为 AE平
8、面 POB， AEPQ， 试卷第 6页，总 11页 因为 OB平面 ABCE, AE平面 ABCE,AE OB=O PQ平面 ABCE ，直线PB 与平面 ABCE 夹角为 4 PBQ ， 又因为 OP=OB， OPOB， O、Q 两点重合，即OP平面 ABCE ， 以 O 为原点， OE 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得， 各点坐标为 3131313 (0,0,),(,0,0),(0,0),(,0,),(,0) 2222222 PECPEEC , 设平面 PCE 的一个法向量为 1 ( , , )nx y z ， 则 1 1 13 0 0 22
9、 , 0 13 0 22 xz PE n EC n xy 设3x，则 y=-1,z=1， 1 ( 3,-1,1)n ， 由题意得平面PAE 的一个法向量 2 (0,1,0)n ， 设二面角A-EP-C 为， 12 12 |15 |cos|= 5| 5 nn nn . 易知二面角A-EP-C 为钝角，所以 5 cos=- 5 . 19为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生 的必修课程 .惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣， 某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100 人进行调查 . （ 1）已知在被抽取的学生中高一 1 班
10、学生有6 名，其中 3 名对游泳感兴趣，现在从这 试卷第 7页，总 11页 6 名学生中随机抽取3 人，求至少有 2 人对游泳感兴趣的概率； （ 2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级 以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一 8 班和高一 9 班获奖学生 中随机各抽取2 人进行跟踪调查，记选中的4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为, 求随机变量的分布列及数学期望. 班级 一 1 一 2 一 3 一 4 一 5 一 6 一 7 一 8 一 9 一 10 市级 比赛获奖人数 2233443342 市级以上 比赛获奖人数 2210233212 【解】
11、 （1）记事件 i A从 6 名学生抽取的 3 人中恰好有i 人有兴趣，i0，1，2，3； 则 2 A与 3 A互斥，故所求概率为 2323 P2P AAP AP A至少 人感兴趣 2130 3333 33 66 CCCC CC 101 202 ； （ 2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3； 22 34 22 55 CC9 P 0 CC50 11221 23434 22 55 CCCCC12 P 1 CC25 22111 24324 22 55 CCCCC3 P 2 CC10 21 24 22 55 CC1 P 3 CC25 则的分布列为： 试卷第 8页，总 11页 0123
12、p 9 50 12 25 3 10 1 25 数学期望为 9241526 E 0123 505050505 20在平面直角坐标系xOy中，已知过点4,0D的直线l与椭圆 2 2 :1 4 x Cy交于 不同的两点 11 ,A x y， 22 ,B xy，其中120y y. （ 1）若 1 0 x，求 OAB的面积； （ 2）在 x 轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角 形 . 【解】（1）当 1 0 x时，代入椭圆方程可得 A点坐标为 0,1或0, 1 若A点坐标为0,1，此时直线 l： 440 xy 联立 22 440 44 xy xy ，消 x 整理
13、可得 2 5830yy 解得 1 1y或 2 3 5 y，故 B 8 3 , 5 5 所以OAB的面积为 184 1 255 0, 1A若 点坐标为，由对称性知 OAB的面积也是 4 5 ， 综上可知，当 1 0 x时，OAB的面积为 4 5 . （ 2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l：4xmy 联立 22 4 44 xmy xy ，消去 x 整理得 22 48120mymy 由 22 644 1240mm，得 2 12m 则 122 8 4 m yy m ， 122 12 4 y y m , 因为直线TA、 TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形， 试卷第 9页，总 11页 所以
14、0 TATB kk 设,0T t，则 1221121212 121112 24 TATB yxtyxtmy ytyy yy kk xtxtxtxtxtxt , 即 1212222 848124 240 444 m tm t m my ytyy mmm , 解得1t. 故 x 轴上存在定点1,0T，使得直线TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形 21已知实数 0a ，设函数e ax fxax （ 1）求函数fx的单调区间； （ 2）当 1 2 a时，若对任意的1,x，均有 2 1 2 a fxx，求a的取值范围 注：e2.71828为自然对数的底数 【解】 (1)由( )(1)=0
15、axax fxa eaa e,解得0 x 若0a,则当(0,)x时,( )0fx,故( )f x 在(0,)内单调递增； 当(,0)x时, ( )0fx ,故( )f x 在( ,0)内单调递减 若0a,则当(0,)x时,( )0fx,故( )f x 在(0,)内单调递增； 当(,0)x时,( )0fx,故( )f x 在(,0)内单调递减 综上所述 ,( )f x 在(,0)内单调递减 ,在(0,)内单调递增 (2) 2 ( )(1) 2 a f xx,即 2 (1) 2 axa ex 令0 x,得1 2 a ,则 1 2 2 a 当 1x 时,不等式 2 (1) 2 axa ex显然成立
16、, 当( 1,)x时,两边取对数 ,即2ln(1)ln 2 a axx恒成立 令函数( )2ln(1)ln 2 a F xxax,即 ( )0F x 在( 1, )内恒成立 由 22(1) ( )=0 11 a x Fxa xx ,得 2 11x a 试卷第 10页，总 11页 故当 2 ( 1,1)x a 时, ( )0Fx , ( )F x 单调递增； 当 2 (1 +)x a ，时,( )0Fx,( )F x单调递减 . 因此 22 ( )(1)2ln2ln2ln 22 aa F xFaa aa 令函数( )2ln 2 a g aa,其中 1 2 2 a, 则 11 ( )10 a g a aa ,得1a, 故当 1 (,1) 2 a时,( )0g a,( )g a单调递减；当(1,2a时,( )0g a,( )g a单调递增 又 13 ()ln 40 22 g, (2)0g , 故当 1 2 2 a时,( )0g a恒成立 ,因此( )0F x恒成立 , 即当 1 2 2 a时,对任意的 1,)x,均有
