《中考数学压轴题及答案40例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学压轴题及答案40例（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 中考数学压轴题及答案40 例 32.已知： RtABC的斜边长为 5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角 坐标系中，使其斜边AB 与 x 轴重合（其中OAOB），直角顶点C 落在 y 轴正半轴上 （如图 1） （1）求线段 OA、OB 的长和经过点A、B、C 的抛物线的关系式 （2）如图 2，点 D 的坐标为（ 2，0），点 P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中 m0，n0），连接 DP 交 BC 于点 E 当 BDE是等腰三角形时，直接写出 此时点 E 的坐标 又连接 CD、CP （如图 3），CDP 是否有最大面积？若有，求出CDP的最大 面积和此时点P 的坐标；若没有
2、，请说明理由 解：（ 1）由题意知RtAOC RtCOB ， OC OA OB OC OC 2 OAOBOA( ABOA)，即 2 2 OA(5OA) OA 2 5OA40，OAOB，OA1，OB42 分 A(1，0) ，B( 4，0) ，C( 0，2) 可设所求抛物线的关系式为ya( x1)( x4) 3 分 将点 C( 0，2) 代入，得 2a( 01)( 04) ，a 2 1 经过点 A、B、C 的抛物线的关系式为 y 2 1 ( x1)( x4) 4 分 即 y 2 1 x 2 2 3 x2 （2）E 1( 3， 2 1 )，E 2 ( 5 4 ， 5 8 )，E 3 ( 5 5 4
3、4，5 5 2 ) 7 分 2 关于点 E 的坐标求解过程如下（原题不作要求， 本人添加， 仅供参考） ： 设直线 BC的解析式为ykxb 则 2 04 b bk 解得 2 2 1 b k 直线 BC的解析式为 y 2 1 x2 点 E 在直线 BC上， E( x， 2 1 x2) 若 EDEB，过点 E 作 EHx 轴于 H，如图 2，则 DH 2 1 DB1 OHODDH213 点 E 的横坐标为3，代入直线BC的解析式，得y 2 1 32 2 1 E 1 ( 3， 2 1 ) 若 DEDB，则 (x 2) 2 ( 2 1 x2) 2 2 2 整理得 5x 2 24x160，解得 x 1
4、4（舍去）， x 2 5 4 y 2 1 5 4 2 5 8 ，E 2 ( 5 4 ， 5 8 ) 若 BEBD，则 (x 4) 2 ( 2 1 x2) 2 2 2 整理得 5x 2 24x160，解得 x 1 5 5 4 4（此时点 P 在第四象限， 舍去）， x 2 5 5 4 4 3 y 2 1 (5 5 4 4) 25 5 2 ，E 3( 5 5 4 4，5 5 2 ) CDP有最大面积 8 分 过点 D 作 x 轴的垂线，交PC于点 M，如图 3 设直线 PC的解析式为 ypxq，将 C(0，2)，P( m，n)代入， 得 nqmp q2 解得 2 2 q m n p 直线 PC的解
5、析式为 y m n2 x2，M(2， m n42 2) SCDP S CDMSPDM 2 1 xPyM 2 1 m( m n42 2) mn2 m( 2 1 m 2 2 3 m2) 2 2 1 m 2 2 5 m 2 1 ( m 2 5 ) 2 8 25 4 当 m 2 5 时， CDP有最大面积，最大面积为 8 25 9 分 此时 n 2 1 ( 2 5 ) 2 2 3 2 5 2 8 21 此时点 P 的坐标为 ( 2 5 ， 8 21 ) 10 分 33.如图，已知抛物线yx 2 4x3 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C 对称轴交 x 轴于点 E，点 B 的坐标为 (1，0
6、) （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标； （2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在点P，与 A、B、C三点构成一个平行四边 形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连结 CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线 CM把四边形 DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不 存在，请说明理由 解：（ 1）对称轴为直线x 2 4 2，即 x2；2 分 令 y0，得 x 2 4x30，解得 x 1 1，x 2 3 点 B 的坐标为 (1，0) ，点 A 的坐标为 (3，0) 4 分 （2）存在，点P 的坐标为 ( 2，3)，( 2，3
7、) 和( 4，3)7 分 （3）存在 8 分 当 x0 时， yx 2 4x33，点 C的坐标为 (0，3) AO3，EO2， AE1，CO3 DECO， 5 AEDAOC AO AE CO DE ，即 3 1 3 DE DE19 分 DECO，且 DECO，四边形DEOC为梯形 S梯形DEOC 2 1 ( 13)24 设直线 CM交 x轴于点 F，如图 若直线 CM把梯形 DEOC分成面积相等的两部分，则SCOF 2 即 2 1 COFO2 2 1 3FO2， FO 3 4 点 F 的坐标为 ( 3 4 ，0)10 分 直线 CM经过点 C(0，3)，设直线CM的解析式为 ykx3 把 F(
8、 3 4 ，0) 代入，得 3 4 k3011 分 k 4 9 直线 CM的解析式为 y 4 9 x312 分 34.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标 轴上，且点A( 0，2) ，点 C( 1，0)，如图所示；抛物线yax 2 ax2 经过点 B （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点 B 除外），使 ACP仍然是以 AC为直角边的 等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由 6 解：（ 1）过点 B 作 BDx 轴于 D BCDACO 90 ， ACO CAO 90 BCDCAO
9、1 分 又 BDCCOA90 ，BC CA RtBCDRtCAO ，2 分 BDCO1，CDAO23 分 点 B 的坐标为 (3，1) ；4 分 （2）把 B(3，1) 代入 yax 2 ax2，得 19a3a2，解得 a 2 1 6 分 抛物线的解析式为 y 2 1 x 2 2 1 x2；7 分 （3）存在 8 分 延长 BC至点 P 1 ，使 CP 1BC，则得到以点 C 为直角顶点的等腰直角三角形ACP 1 9 分 过点 P 1 作 P 1 Mx 轴 CP 1BC，P1CMBCD， P1MCBDC90 RtP 1 CMRtBCD，10 分 CMCD2，P 1 MBD1，可求得点P 1 (
10、1，1) ；11 分 把 x1 代入 y 2 1 x 2 2 1 x2，得 y1 点 P 1( 1，1) 在抛物线上 12 分过点 A作 AP 2AC， 且使 AP2 AC， 则得到以点 A为直角顶点的等腰直角三角形ACP 2 13 分 过点 P 2 作 P 2 Ny 轴，同理可证RtP 2 NARtAOC 14 分 7 P 2NAO2，ANCO 1可求得点 P 2( 2，1) 15 分 把 x2 代入 y 2 1 x 2 2 1 x2，得 y1 点 P 2( 2，1) 在抛物线上 16 分 综上所述，在抛物线上还存在点P 1 ( 1，1) 和 P 2 ( 2，1)，使 ACP仍然是以 AC为
11、直角 边的等腰直角三角形 35.如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C( 4，3 )，且在 x 轴上截 得的线段 AB 的长为 6 （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 在 y 轴上，且使得 PAC的周长最小，求： 点 P 的坐标； PAC的周长和面积； （3）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以 Q、A、B 三点为顶点的三角形与 ABC相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 解：（1）设二次函数的解析式为ya( x 4) 2 3 ( a0) ，且 A( x 1 ，0)，B( x 2 ，0) ya(x 4) 2 3 ax 2 8ax16a3 8 x
12、1x2 8，x 1 x 2 16 a 3 AB 2 (x 1 x 2 ) 2 (x 1 x 2 ) 2 4x 1 x 2 8 2 4( 16 a 3 )36，a 9 3 二次函数的解析式为 y 9 3 ( x4) 2 3 2 分 （2）如图 1，作点 A 关于 y 轴的对称点A ，连结 A C交 y 轴于点 P，连结 PA，则点 P 为所求 令 y0，得 9 3 (x 4) 2 3 0，解得 x 11，x27 A( 1，0) ，B(7，0) OA1， OA 1 设抛物线的对称轴与x 轴交于点 D，则 AD3，AD5，DC 3 A OP ADC， DC OP AD OA ，即 3 OP 5 1
13、，OP 5 3 P( 0， 5 3 )4 分 A C 22 DCDA 22 )3(572 AC 22 DCAD 22 )3(332 PAC的周长 PAPCACA CAC72325 分 SPACSAACSAAP 2 1 AA(DCOP) 2 1 2( 3 5 3 ) 5 34 7 分 （3）存在 8 分 tanBAC AD DC 3 3 ， BAC30 同理， ABC30 ， ACB120 ，ACBC 若以 AB 为腰， BAQ 1 为顶角，使 ABQ 1CBA，则 AQ1AB6，BAQ1120 如图 2，过点 Q 1 作 Q 1 Hx轴于 H，则 Q 1 HAQ 1 sin606 2 3 33
14、，HAAQ 1 cos606 2 1 3 HOHAOA312 9 点 Q 1 的坐标为 ( 2， 33 ) 把 x2 代入 y 9 3 ( x 4) 2 3，得 y 9 3 (24) 2 3 33 点 Q 1 在抛物线上 9 分若以 BA 为腰，ABQ 2 为顶角，使ABQ 2 ACB，由对称性可求得点Q 1 的坐标为 ( 10， 33 ) 同样，点 Q 2 也在抛物线上 10 分 若以 AB 为底， AQ，BQ为腰，点 Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去 11 分 综上所述，在x 轴上方的抛物线上存在点Q 1 ( 2， 33 ) 和 Q 2 (10， 33 ) ，使得以 Q、 A、B 三点
15、为顶点的三角形与ABC相似 12 分 36.如图，抛物线yax 2 bxc( a 0) 与 x 轴交于 A( 3，0) 、B 两点，与 y 轴相交于 点 C( 0，3)当 x 4 和 x2 时，二次函数 yax 2 bxc( a0) 的函数值 y 相等， 连结 AC 、BC （1）求实数 a，b，c 的值； （2）若点 M、N 同时从 B 点出发，均以每秒1 个单位长度的速度分别沿BA、BC边运 动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t 秒时，连结 MN， 将BMN 沿 MN 翻折， B 点恰好落在AC边上的 P处，求 t 的值及点 P 的坐标； （3）在（ 2）的条件下，
16、抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以 B，N，Q为顶点的 三角形与 ABC相似？若存在， 请求出点 Q的坐标； 若 不存在，请说明理由 解：（ 1）由题意得 cbacba c cba 24416 3 039 y O x C N B P MA 10 解得 a 3 3 ，b 3 32 ，c3 3 分 （2）由（ 1）知 y 3 3 x 23 32 x3，令 y0，得 3 3 x 23 32 x30 解得 x 13，x21 A( 3，0)， B( 1，0) 又C( 0，3)， OA3，OB1，OC3， AB4，BC2 tanACO OC OA 3， ACO 60 ， CAO 30 同理，可求得 CBO 60 ，BCO 30 ， ACB90 ABC是直角三角形 又BMBNt， BMN 是等边三角形 BNM60 ， PNM60 ， PNC60 RtPNCRtABC， NC PN BC AB 由题意知 PNBNt，NCBC BN2t
