《2010年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题(理科).含详解(20200816110254)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题(理科).含详解(20200816110254)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用） 第 I 卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， （1）已知 A，B 均为集合U=1,3,5,7,9 的子集，且AB=3,B)(C U A=9, 则 A=（） （ A） 1,3 (B)3,7,9 (C)3,5,9 (D) 3,9 【答案】 D 【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、 补集的运算，考查了同学们借助于Venn 图解决集合问题 的能力。 【解析】因为AB=3 ，所以 3A，又因为 B)(CU A=9 ，所以 9A，所以选D
2、。本题也可以用 Venn 图的方法帮助理解。 (2)设 a,b 为实数，若复数1 1+2i i abi ，则（） （A） 31 , 22 ab(B) 3,1ab(C) 13 , 22 ab(D) 1,3ab 【答案】 A 【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。 【解析】由 12 1 i i abi 可得12()()iabab i， 所以 1 2 ab ab ， 解得 3 2 a， 1 2 b， 故选 A。 （3）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 2 3 和 3 4 ，两个零件是（） 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
3、 （A） 1 2 (B) 5 12 (C) 1 4 (D) 1 6 【答案】 B 【命题立意】 本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查 了有关概率的计算问题 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则 P(A)=P(A1)+ P(A2)= 211 3 35 += 43412 (4)如果执行右面的程序框图，输入正整数n， m， 满足 nm，那么输出的P等于（） （ A） 1m n C (B) 1m n A (C) m n C (D) m n A - 2 - 【答案】 D 【命题立意】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、 推理的能力 【解析】第一次循环
4、：k=1,p=1,p=n-m+1; 第二次循环：k=2,p=(n-m+1)(n-m+2)； 第三次循环：k=3，p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3) 第 m 次循环： k=3，p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3)(n-1)n 此时结束循环，输出p=(n-m+1) (n-m+2) ( n-m+3)(n-1)n= m n A （5）设0,函数 y=sin(x+ 3 )+2 的图像向右平移 3 4 个单位后与原图像重合，则的最小 值是（） （A） 2 3 (B) 4 3 (C) 3 2 (D)3 【答案】 C 【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性
5、，考查了同学们对知 识灵活掌握的程度。 【解析】将y=sin(x+ 3 )+2 的图像向右平移 3 4 个单位后为 4 sin()2 33 yx 4 sin()2 33 x，所以有 4 3 =2k,即 3 2 k ，又因 为 0，所以 k 1, 故 3 2 k 3 2 ，所以选 C （6）设an 是有正数组成的等比数列， n S为其前 n 项和。已知a2a4=1, 3 7S,则 5 S（） （A） 15 2 (B) 31 4 (C) 33 4 (D) 17 2 【答案】 B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查了同学们解决问题的能 力。 【解析】由a2a4=1 可得
6、24 1 1a q，因此 1 2 1 a q ，又因为 2 31(1 )7Saqq，联力两式有 11 (3)(2)0 qq ，所以 q= 1 2 ,所以 5 5 1 4(1) 31 2 1 4 1 2 S ，故选 B。 (7)设抛物线y2=8x 的焦点为F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为垂足如果直线AF 的 斜率为-3,那么 |PF|=（） (A)4 3(B)8 (C)8 3(D) 16 【答案】 B 【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系， 考查了等价转化的思想。 - 3 - 【解析】抛物线的焦点F（2，0） ，直线 AF 的方程为3(
7、2)yx，所以点( 2,4 3)A、 (6,4 3)P，从而 |PF|=6+2=8 (8)平面上 O,A,B 三点不共线，设 ,OA=a OBb，则 OAB 的面积等于（ ） (A) 222 | |()|aba b(B) 222 | |()|aba b (C) 2221 | |() 2 |aba b(D) 2221 | |() 2 |aba b 【答案】 C 【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基 本关系。 【解析】三角形的面积S= 1 2 |a|b|sin，而 2222222 11 | |()| |() cos, 22 ababababa b 2 1
8、1 | 1cos,|sin, 22 a ba baba b (9)设双曲线的个焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直，那么此双曲线的离心率为（） (A) 2(B)3(C) 31 2 (D) 51 2 【答案】 D 【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条 件，考查了方程思想。 【解析】设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，则 F（c,0）,B(0,b) 直线 FB：bx+cy-bc=0 与渐近线y= b x a 垂直，所以 1 b b c a ，即 b2=ac 所以 c2-a2=ac,即 e2-e-
9、1=0,所以 15 2 e或 15 2 e（舍去） (1O)已知点 P 在曲线 y= 4 1 x e 上， a 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a 的取值 范围是（） (A)0, 4 ) (B),) 42 3 (, 24 (D) 3 ,) 4 【答案】 D 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。 【解析】因为 2 44 1 (1)2 x xxx e y eee ，即 tan a-1, 所以 3 4 。 - 4 - (11)已知 a0，则 x0满足关于x 的方程 ax=6 的充要条件是（） (A) 22 00 11 , 22 xRaxbxaxbx(B) 22 00 1
10、1 , 22 xRaxbxaxbx (C) 22 00 11 , 22 xRaxbxaxbx(D) 22 00 11 , 22 xRaxbxaxbx 【答案】 C 【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造 二次函数解决问题的能力。 【解析】 由于 a0,令函数 2 22 11 () 222 bb yaxbxa x aa ，此时函数对应的开口向上， 当 x= b a 时，取得最小值 2 2 b a ，而 x0满足关于x 的方程 ax=b,那么 x0= b a ,ymin= 2 2 00 1 22 b axbx a ，那么对于任意的xR, 都有 21 2 yax
11、bx 2 2 b a = 2 00 1 2 axbx (12) (12)有四根长都为2 的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处 相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（） (A) （0,62）(B) （1,2 2） (C) (62,62）(D) （0,2 2） 【答案】 A 【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为2 的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架， 有以下两种情况： （ 1）地面是边长为2 的正三角形，三条侧棱长为2，a， a，如图，此时a 可 以取最大值，可知AD=3，SD
12、= 2 1a，则有 2 1a2+3，即 22 84 3( 62)a，即有 a0; 综上分析可知a（ 0,62） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。 （13） 26 1 (1)()xxx x 的展开式中的常数项为_. 【答案】 -5 【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法 【解析】 21 ()x x 的展开式的通项为 6 2 16( 1) rrr r TCx ，当 r=3 时， 3 46 20TC ， 当 r=4 时， 4 56 15TC，因此常数项为-20+15=-5 （14）已知14xy且23xy，则23zxy的取值范围是_（答案用区 间表示） 【答案
13、】（3，8） - 5 - 【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能 力。 【解析】画出不等式组 14 23 xy xy 表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y， 当直线经过x-y=2 与 x+y=4 的交点 A（3，1）时，目标函数有最小值z=23-31=3；当直线 经过 x+y=-1 与 x-y=3 的焦点 A（1，-2）时，目标函数有最大值z=21+3 2=8. （15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个 多面体最长的一条棱的长为_. 【答案】2 3 【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值 问题
14、，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。 【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2 的 正方形且有一条长为2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱 长为 222 2222 3 （16）已知数列 n a满足 11 33,2 , nn aaan则 n a n 的最小值为 _. 【答案】 21 2 【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数 单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 【解析】 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+ (n-1)+33=33+ n2-n 所以 33 1 n a n n
15、n 设( )f n 33 1n n ，令( )f n 2 33 10 n ，则( )f n在( 33,)上是单调递增， 在(0,33)上是递减的，因为nN+, 所以当 n=5 或 6 时( )f n有最小值。 又因为 5 53 55 a ， 6 6321 662 a ，所以， n a n 的最小值为 6 21 62 a 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分12 分）在 ABC 中， a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且 2 sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC （）求A 的大小； （）求sinsinBC的最大值 . - 6 -
16、 （17）解： （）由已知，根据正弦定理得 2 2(2)(2)abc bcb c 即 222 abcbc 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 故 1 cos 2 A，A=120 6 分 （）由（）得： sinsinsinsin(60)BCBB 31 cossin 22 sin(60) BB B 故当 B=30时， sinB+sinC 取得最大值1。 12 分 （18） （本小题满分12 分）为了比较注射A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200 只家兔做试验，将这200 只家兔随机地分成两组，每组 100 只，其中一组注射药物A，另一组 注射药物B。 （）甲、乙是200 只家兔中的2 只，求甲、乙分在不同组的概率； （）下表1 和表 2 分别是注射药物A 和 B 后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2） 表 1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 （）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物
