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1、31 初中数学竞赛辅导资料 用枚举法解题 甲内容提要 有一类问题的解答,可依题意一一列举,并从中找出规律。 列举解答要注意: 按一定的顺序,有系统地进行; 分类列举时,要做到既不重复又不违漏; 遇到较大数字或抽象的字母,可从较小数字入手,由列举中找到规律。 乙例题1 例 1如图由西向东走, 从 A 处到 B 处有几 种走法? 1 解:我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目,例如从 A 到 C 有 三种走法,在C 处标上 3,从 A 到 M( N)有 31 4 种,从 A 到 P 有 34411 种,这样逐步累计到B,可得 111113(种走法) 例2写出由字母X,Y, Z 中的一个或几个组成
2、的非同类项(系数为1) 的所有四次单项式。 解法一:按X 4,X3,X2,X,以及不含 X 的项的顺序列出(如左) 解法二:按XYZX 的顺序轮换写出(如右) X 4 ,X 4 , Y 4 ,Z 4 X 3Y, X 3Z, X 3Y , Y3Z , Z3X X 2Y2, X2Z2, X2YZ, X 3Z , Y3X, Z3Y XY 3, XZ 3, XY 2Z, XYZ2, X2Y 2, Y2Z2 , Z2X 2 Y 4, Z 4 Y 3Z, Y 2Z 2, YZ 3。 X 2YZ , Y 2ZX , Z2XY 解法三:还可按3 个字母, 2 个字母, 1 个字母的顺序轮换写出(略) 例3讨论
3、不等式axb 的解集。 解:把 a、b、c 都以正、负、零三种不同取值,组合成九种情况列表 ax0 时,解集是x a b , 当 a a b , 4 11 13 4 3 1 1 C A B P M N 32 当 a=0,b0 时,解集是所有学过的数, 当 a=0,b0 时,解集是空集(即无解 ) 例 4如图把等边三角形各边4 等分,分别连结对应点,试计算图中所有的 三角形个数 解: 设原等边三角形边长为4 个单位,则最小的等边三角形边长是1 个单位, 再按顶点在上和顶点在下两种情况,逐一统计: 边长 1 单位,顶点在上的有:1+2+3+4=10 边长 1 单位,顶点在下的有:1+2+3=6 边
4、长 2 单位,顶点在上的有:1+2+3=6 边长 2 单位,顶点在下的有:1 边长 3 单位,顶点在上的有:1+2=3 边长 4 单位,顶点在上的有:1 合计共 27 个 丙练习 13 1 己知 x,y 都是整数,且xy=6 ,那么适合等式解共_个,它们是 2 a+b=37,适合等式的非负整数解共_组,它们是 3 xyz=6, 写出所有的正整数解有: 4 如图线段AF 上有 B,C,D,E 四点 ,试分别写出以A,B,C,D,E 为 一端且不重复的所有线段,并统计总条数。 A B C D E F 5.写出以 a,b,c 中的一个或几个字母组成的非同类项(系数为1)的 所有 三次单项式。 6.除以 4 余 1 两位数共有几个? 7.从 1 到 10 这十个自然数中每次取两个,其和要大于10,共有几种不同 取法? 8.把 边长等于4 的正方形各边4 等分,連结各对应点成16 个小正方形, 试用枚举法,计算共有几个正方形?如果改为5 等分呢? 10 等分呢? 9.右图是街道的一部分,纵横各有5条路,如果从 A 到 B(只能从北向南,从西向东),有几种走法? 10.列表讨论不等式axb 的解集 . 11.一个正整数加上3 是 5 的倍数,减去3 是 6 的倍数, 则这个正整数的最小值是 A B