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1、数学试题（第 1页 共10页） 2021 届高三数学（文）“大题精练” 1.（本小题满分12 分） 已知数列 n a满足 1 1a， 1 11 nn nanan n，设 n n a b n （1）求数列 n b的通项公式； （2）若2 n b n cn，求数列 n c的前 n 项和 2.（本小题满分12 分） 如图，四棱柱 1111 ABCDA B C D 的底面为菱形，ACBDO （1）证明： 1 BC 平面 1 A BD； （2）设AB 1 2,AA 3 BAD，若 1 AO平面 ABCD ， 求三棱锥 11BA BD 的体积 3.（本小题满分12 分） 世界互联网大会是由中国倡导并每年在
2、浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网 盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台， 让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、 在合作中创共赢 2019 年 10 月 20 日至 22 日， 第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000 名志愿者 某 部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中 位数为 34 岁，年龄在 40,45) 岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布 直方图： A B C D 1A 1 B 1 C 1 D O 数学试题（第 2页 共10页） （1）求 m ，
3、 n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值 代表）； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方 式报名调查这100 位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计 算说明能否在犯错误的概率不超过0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关 系”？ 男性女性总计 现场报名50 网络报名31 总计50 参考公式及数据： 2 2() ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中 nabc d . 2 0 P Kk 0.050.010.0050.001 0 k3.8416.6357.87910.828
4、 4.（本小题满分12 分） 已知 2 2 ln3fxxxxax （1）当1a时，求曲线yfx 在1x处的切线方程； （2）若存在 0 1 ,e e x，使得 0 0fx成立，求 a的取值范围 频率 / 组距 年龄 / 岁20253035404550 0.010 0.020 2m 2n O 数学试题（第 3页 共10页） 5.（本小题满分12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0ab)的离心率为 6 3 ，以 C 的短轴为直径的圆与直线 :3450lxy相切 （1）求 C的方程； （2）直线 yxm 交椭圆 C 于 11 ,Mx y， 22 ,N xy两点，且 12 xx已知
5、 l 上存在 点P，使得PMN是以PMN 为顶角的等腰直角三角形若P在直线 MN 右下方，求m 的值 （二）选考题：共10 分请考生在第22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 6.（本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程 已知直角坐标系xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3,xt yt （t为参数）以 O 为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C 的极坐标方程为 2 12cos （1）写出 1 C 的普通方程和 2 C 的直角坐标方程； （2）设点P为 2 C 上的任意一点，求P到1C 距
6、离的取值范围 7.（本小题满分10 分）选修45：不等式选讲 已知0,0,0abc，且2abc （1）求 2 abc 的取值范围； （2）求证： 149 18 abc 数学试题（第 4页 共10页） 2021 届高三数学（文）“大题精练”（答案解析） 1.（本小题满分12 分） 已知数列 n a满足 1 1a， 1 11 nn nanan n，设 n n a b n （1）求数列 n b的通项公式； （2）若2 n b n cn，求数列 n c的前 n 项和 【解析】（1）因为 n n a b n ，所以 nn anb ， 1 分 又因为 1 11 nn nanan n ， 所以 1 111
7、nn n nbnnbn n，即 11nnbb， 3 分 所以 nb为等差数列， 4 分 其首项为 11 1ba，公差1d 5 分 所以11 n bnn 7 分 （2）由（ 1）及题设得，2n ncn， 8 分 所以数列 nc的前 n 项和 23 2222123 n n Sn 9 分 1222 122 n nn 11 分 2 1 22 2 nnn 12 分 2.（本小题满分12 分） 如图，四棱柱 1111 ABCDA B C D 的底面为菱形，ACBDO （1）证明： 1 BC 平面 1 A BD； （2）设AB 1 2,AA 3 BAD ，若1 AO 平面 ABCD， 求三棱锥 11 BA
8、BD 的体积 【解析】（1）证明：依题意，11/ A BAB，且/ABCD， A B C D 1A 1 B 1C 1 D O 数学试题（第 5页 共10页） 11 /A BCD， 1 分 四边形 11 A B CD是平行四边形， 2 分 11B CAD， 3 分 1 B C 平面1 A BD， 1 A D 平面1 A BD， 1 B C 平面 1 A BD 5 分 （2）依题意， 12,3AAAO， 在 1 RtAAO中， 22 11 1AOAAAO， 6 分 所以三棱锥 1ABCD 的体积 1 ABCDV 1 1 3 BCD SAO 2 13 21 34 3 3 8 分 由（ 1）知 1 B
9、 C 平面 1 A BD， 111 BA BDCA BDVV 10分 1 ABCD V 11 分 3 3 12 分 3.（本小题满分12 分） 世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网 盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台， 让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、 在合作中创共赢 2019 年 10 月 20 日至 22 日， 第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000 名志愿者 某 部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中 位数为 34 岁，年龄在
10、40,45) 岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布 直方图： （1）求 m ， n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值 频率 / 组距 年龄 / 岁20253035404550 0.010 0.020 2m 2n O 数学试题（第 6页 共10页） 代表）； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方 式报名调查这100 位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计 算说明能否在犯错误的概率不超过0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关 系”？ 男性女性总计 现场报名50 网络报名31 总
11、计 50 参考公式及数据： 2 2() ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中 nabc d . 2 0 P Kk 0.050.010.0050.001 0k3.8416.6357.87910.828 【解析】（1）因为志愿者年龄在40,45) 内的人数为 15， 所以志愿者年龄在40,45) 内的频率为： 15 0.15 100 ； 1 分 由频率分布直方图得：(0.020240.010)50.151mn， 即20.07mn， 3 分 由中位数为34 可得 0.0205252(3430)0.5mn， 即 5 40.2mn， 4 分 由解得0.020m，0.025n. 5 分 志愿者的平均年龄为 (22.50.02027.50.04032.50.05037.50.05042.50.03047.50.010)5 34（岁） 7 分 （2）根据题意得到列联表： 男性女性总计 现场报名193150 网络报名311950 总计5050100
