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1、第 1 页 共 23 页 2020 届百校普通高中教育教学质量监测考试全国i 卷数学 (理) 一、单选题 1已知集合|31,Ax xkkN,41,By ykk, 1,2,3,4,5,6,7,8C,则ABC() A7B1 4 7,C13 7, ,D1734, 【答案】 D 【解析】 根据题意 ,对集合 A和集合B中的k赋值0,1,2,3,求出集合C中元素与集合A 中或与集合B中重复的元素即可. 【详解】 由题意知 ,集合C中元素在集合 A中有1,4,7, 集合C中元素在集合B中的有3,7, 所以集合C中元素在集合 A或在集合B中有 1,3,4,7, 故1,3,4,7()ABC, 故选 :D 【点
2、睛】 本题考查集合的交与并的混合运算;正确求出集合C中元素与集合 A中或与集合B中重 复的元素是求解本题的关键;属于基础题 . 2已知复数 z满是 2 () 1 mi zmR i 且| | =2z ,则m的值为() A2 B -2 或 2 C3. D-3 或 3 【答案】 B 【解析】 化简复数 z 为( ,)abi a bR形式,再由复数模的运算列方程解得m 【详解】 由题意知 2i2(2)i 1 i2 mmm z ,因为|2z,所以 22 (2)(2) 4 4 mm , 即 2 4m,解得2m . 故选 B 第 2 页 共 23 页 【点睛】 本题考查复数的除法运算,考查复数的模,属于基础
3、题 3已知实数0a,0b,则 “1ab” 是“ 22 ab ebea ” 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 构造函数( )e2 (0) x f xx x,利用函数 ( )f x 的单调性和充分与必要条件的 定义判断即可. 【详解】 e2e2e2e2 abab baab, 令( )e2 (0) x f xx x,则( )e2 x fx, 令( )0fx,解得ln 2x, 因为 fx为R上的增函数 , 所以当0,ln 2x时, 0fx;当ln 2,x时, 0fx, 故( )f x 在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,)上单调
4、递增, 所以当1ab时, ( )( )f af b ,即 22 ab eaeb, 即 “ 1ab” 是“e 2e2 ab ba” 的充分条件; 但当0ln 2ab时,有( )( )f af b,即 22 ab eaeb, 所以当 22 ab ebea时,可得 1ab或0 ln 2ab, 故 “ 1ab” 是“e 2e2 ab ba” 的不必要条件 . 综上可知 “1ab” 是“ 22 ab ebea ” 的充分不必要条件. 故选 :A 【点睛】 本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数( )e2 (0) x f xx x,利用函数的单 调性进行判断;属于中档题 . 4已知函数 ( )f x
5、 满足(2)1( )(2),(0)2f xf x f xf,则 第 3 页 共 23 页 (2018)(2020)ff () A-1 B 2 C1 D 1 2 【答案】 D 【解析】 由已知得出递推式: 1 (2) 1( ) f x f x ,连续利用递推关系可得函数是周期 函数且周期为6,这样利用周期性和递推关系可求得(2018)f和(2020)f 【详解】 1 (2) 1( ) f x f x , 11 (4)1 1(2)( ) f x f xf x , 1 (6)( ) 1(4) f xf x f x , 所以( )f x 的周期为 6, (2018)(63362)(2)1fff, 1
6、(2020)(63364)(4) 2 fff ,所以 1 (2018)(2020) 2 ff. 故选: D 【点睛】 本题考查函数的周期性,确定函数的周期是解题关键在已知()( )f xaf x或 1 () ( ) f xa f x 等关系时,可得函数是周期函数,且2a是其一个周期 5如图,在正方体11 11 ABCDA B C D 中,点 M 为11 A D 中点,则异面直线AM 与 1 CD 所成角的余弦值为() A 10 5 B 5 5 C 10 10 D 5 2 【答案】 A 【解析】 取 AD 的中点 N,连结 CN, 1 D N ,易知1 AMND,故 1 ND C(或其补角) 第
7、 4 页 共 23 页 即为异面直线 AM与 1 CD 所成的角 .在三角形中计算即可 【详解】 取 AD 的中点 N,连结 CN, 1 D N,易知 1 AMND,故 1 ND C(或其补角)即为异 面直线 AM 与 1 CD 所成的角 .不妨设1AB,则 11 5 ,2 2 CND NCD ,故 1 55 2 10 44 cos 5 5 22 2 ND C . 故选 A 【点睛】 本题考查异面直线所成的角,解题时需先作出这个角(同时证明),即作其中一条直线 的平行线,与另一条相交,相交直线之间的夹角就是异面直线所成的角,然后在三角形 中求解 6已知函数 ( )f x 为定义在 R上的增函数
8、且其图象关于点 (2,0)对称,若 ( )(2)g xfx ,则不等式 (3)(12 )0g xgx 的解集为() A2,)B4, ) C( ,4 D2,4 【答案】 B 【解析】 由若( )(2)g xfx知( )g x的图象关于原点对称,从而它是奇函数,( )f x 是 增函数,则 ( )g x 是减函数,利用奇函数变形不等式为 (3)(21)g xgx ,再由减函 数得解 【详解】 由题意知( )g x为R上奇函数且为减函数,不等式(3)(1 2 )0g xgx等价于 (3)(1 2 )g xgx,即(3)(21)g xgx,故 321xx,解得 4x. 故选: B 第 5 页 共 23
9、 页 【点睛】 本题考查函数的单调性与奇偶性,由函数( )g x的定义与( )f x 的性质可得( )g x的性质, 从而可求解函数不等式本题关键是确定( )g x的性质 7某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A 10 3 B 8 3 C2 D 7 3 【答案】 C 【解析】由三视图还原出原几何体,可以看作是由一个直三棱柱削去两个三棱锥得到的。 【详解】 该几何体为一个直三棱柱削去两个三棱锥后剩下的几何体ACMDE,故体积为 111111 2 222222222 232232 V. 故选: C。 【点睛】 本题考查三视图,考查几何体的体积,解题关键是由三视图还原出原几何体。 8函
10、数22 11 ( )sinf xxx x 在区间 2 ,2 上的大致图像为() 第 6 页 共 23 页 AB CD 【答案】 C 【解析】 根据奇偶性排除A,D,根据()0,f(0,)x,( ,2)x函数值的正负 可选出选项 . 【详解】 由题可得 22 11 ( )sinf xxx x 是偶函数,排除A,D 两个选项, ( )0,f 当 (0,)x 时, 22 11 sin0,xx x , ( )0fx , 当( ,2)x时, 22 11 sin0,xx x ,( )0f x, 所以当( 2 ,2)x时,( )f x 仅有一个零点 . 故选: C 【点睛】 此题考查函数的奇偶性和零点问题,
11、解题时要善于观察出函数的一个零点,再分别讨论 (0,)x , ( ,2)x 函数值的正负便可得出选项. 9已知角 ,a 满足sin(2 )3sin ,若 11 tan tantan ,则实数的 值为() A2 B 3 C4 D6 【答案】 A 第 7 页 共 23 页 【解析】 利用两角和的正弦公式及二倍角公式展开化简,然后弦化切即可求解. 【详解】 由sin(2 )3sin 可得,sin2coscos2 sin3sin, 两边同时除以cos得sin2cos2tan3tan, 即3cos2tansin2,所以 13cos2 tansin2 , 由正余弦的二倍角公式可 得 , sin22sinc
12、os , 222222 3cos23 sincoscossin4sin2cos, 所以 22 14sin2cos tan2sincos ,等式右边的式子分子分母同除 2 cos可得 , 222 4sin2cos4tan2 2sincos2tan 1 2tan tan , 所以 11 2tan tantan ,即 11 2 tan tantan ,所以2, 故选 : A 【点睛】 本题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的灵活运用;灵活运用两角和的正弦公式和二 倍角公式把弦化为切是求解本题的关键;属于中档题 . 10已知函数 3 ( )33f xxx,过点 10A, 的直线l与 ( )f x 的图象
13、有三个不同的交 点,则直线l斜率的取值范围为() A 3 ,6 4 B 2 ,6(6,) 3 C 3 ,6(6,) 4 D 3 , 4 【答案】 C 【解析】 设过点( 1,0)A的直线方程为(1)yk x,题意说明方程 3 (1)33k xxx 有三个不同的根,注意其中1x已经是一个根, 则3 (1)kx x有两个不等于 1的 根。由判别式可得。 【详解】 第 8 页 共 23 页 设过点 ( 1,0)A 的直线方程为 (1)yk x , 则若直线 l与函数( )f x 的图象有3个交点, 即方程 3 (1)33k xxx有三个不同的根,所以 2 (1)313 (1)(1)k xx xx x
14、x,即3 (1)kx x有 2 个不等于 -1 的根 .而当 1x时6k,所以 94 30 6 k k ,解得 3 4 k 且6k,故 3 ,6(6,) 4 k. 故选: C。 【点睛】 本题考查直线与函数图象交点个数问题,解题方法是转化方程根的个数问题,由于有一 个特殊根 1,因此问题又转化为二次方程有两个不等于1 的根,从而由判别式即可 求解。 11已知函数 ( )sin()cos()0,| 2 f xxx的图象向右平移 3 个 单位长度得到函数( )g x的图象,若函数( )g x的最小正周期为, 3 x为函数( )g x的 一条对称轴,则函数( )g x的一个增区间为() A0, 6
15、B, 2 C 5 , 36 D, 63 【答案】 C 【解析】 由辅助角公式化简函数fx解析式 ,利用三角函数的平移变换公式得到函数 ( )g x的解析式 ,利用最小正周期公式求出,再利用正弦函数sinyx的对称轴 , 2 xkkz求出,由正弦函数sinyx的单调递增区间 2,2, 22 kkkz求解即可 . 【详解】 由题意知 ,( )2 sin 4 f xx, 所以 ( )(2sin 334 g xf xx, 第 9 页 共 23 页 因为 g x( )的最小正周期为 ,所以 2 ,解得2, 所以 2 2 sin 2 34 g xx, 由 3 x为g x( )的一条对称轴,则() 42 k
16、kZ, 即 3 , 4 kkz,因为 2 ,可得 4 所以函数 7 ( )2 sin 2 6 g xx, 因为函数sinyx的单调递增区间为2,2, 22 kkkz, 所以令 7 222() 262 kxkkZ, 解得 5 , 36 kxkkz, 当 0k 时, 5 36 x, 故选 :C 【点睛】 本题考查利用正弦函数的有关性质求正弦型函数sinyA x解析式及单调区间; 熟练掌握正弦函数的有关性质是求解本题的关键;属于中档题 . 12已知数列, nn ab满足 1 1111 12 1.1,0.2, 233 nn nnnn ba ababab nN,令 nnn cab,则满足 4 1 10 n c的n最小值为( ) A9 B 10 C11 D12 【答案】 B 【解析】 由已知递推式求出 11nn ab与 nn ab之间的关系,即 n c的递推关系,从而 知数列 n c是等比数列,由此可求得其通项公式,由通项公式知其是递减的等比数列, 从而可通过解不