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1、甘肃省张掖市 2019-2020学年 高二下学期期中考试（理） （考试时间：120 分钟试卷满分： 150 分） 测试范围：选修 2-2、选修 2-3 第一章 一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1已知函数 ( )f x 在 0 xx处可导，若 00 0 (3)() lim1 x f xxf x x ，则 0 ()fx A1B 1 3 C3D 0 2设函数 xx fxx eae的导函数为 fx，若 fx是奇函数，则曲线yfx 在点(1,(1)f处切线的斜率为（） A2eB 1 e C2D2e 3在利用函数 1 22 x
2、 fx计算 0 ,1 ,2 ,1ffff 时，可推得结论（） A 111 222 fxfxB 1 1 2 fxfx C 2 1 2 fxfx D 2 1 2 fxfx 4.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.( )1f tt与 2 ( ) xx g x x B. 2 2 ( ) () x f x x 与( )g xx C.( )|fxx与 ( ) n g nn D.( )f xx与 3 2 ( ) 1 tt g t t 5 一物体在力 5,02 ( ) 34,2 x F x xx （单位: N） 的作用下沿与力 F相同的方向， 从0 x 处运动到4x处（单位 :)m ，则力 ( )F x 所
3、做的功为（） A54 焦B40 焦C36 焦D14 焦 6函数 2221 sincos 622 xx fxx的导函数yfx的图象大致是（） AB CD 7 一物体在力 5,02 ( ) 34,2 x F x xx （单位: N） 的作用下沿与力F相同的方向， 从0 x 处运动到4x处（单位 :)m ，则力 ( )F x 所做的功为（） A54 焦B40 焦C36 焦D14 焦 8已知函数 2 1x fx x ，则不等式 121 ()(e)e xx ff 的解集是 A 2 , 3 B 2 , 3 C(,0)D 2 , 3 9设函数 xx fxx eae的导函数为 fx，若 fx是奇函数，则曲线y
4、fx 在点(1, (1)f 处切线的斜率为（） A2eB 1 e C2D2e 10 一物体作变速直线运动，其v t曲线如图所示， 则该物体在 1 s6s 2 间的运动路程为 （） m A1B 4 3 C 49 4 D2 11函数 2 43yxx的单调递增区间是 A.(, 2B.2,) C. 2,)D.(,2 12已知直线 ya 分别与函数 1x ye 和 1yx 交于A、 B 两点，则A、 B 之间的最 短距离是（） A 3ln 2 2 B 5ln 2 2 C 3ln 2 2 D 5ln 2 2 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分） 13曲线 x yex在点（ 0， 1）处
5、的切线方程为. 14 若 1 3 n x x 展开式的二项式系数之和是64， 则展开式中的常数项的值是_. 15 2 1 1 e xdx x _ 16古埃及数学中有一个独特现象：除了 2 3 用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成 若干个分数和的形式,例如 211 5315 可以这样来理解：假定有2个面包 ,要平均分给5 个 人,每人分 1 3 将剩余 1 3 ,再将这 1 3 分成 5 份 ,每人分得 1 15 ,这样每人分得 11 315 同理可得 211 7428 , 211 9545 ,按此规律 ,则 2 n _（5,7,9,11,n） 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、
6、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）求下列函数的导数： （1）( )(1sin)(14 )f xxx； （2）( )2 1 xx f x x . 18 （12 分）已知二项式 3 1 2 n x x ()nN 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之 和为 128. （1）求 3 1 2 n x x 的展开式中的常数项； （2）在 (1x)(1x)2(1 x)3(1x)4(1x) 2 n 的展开式中，求 3 x 项的系数 .(结 果用数字作答 ) 19 （12 分）已知函数 32 ( )f xxaxbxc的图象如图，直线0y在原点处与函数图 象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积
7、为 27 4 . （1）求 ( )f x 的解析式； （2）若常数0m，求函数( )f x在区间,m m上的最大值 . 20 （12 分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x（年） （其中*xN）的关系为2 x ye为有效控制有害昆虫数量、保 护生态环境，环保部门通过实时监控比值 2 1 ay M xx （其中a为常数，且0a）来进 行生态环境分析 （1）当1a时，求比值 M取最小值时 x的值； （2）经过调查，环保部门发现：当比值 M 不超过 4 e 时不需要进行环境防护为确保恰好3 年不需要进行保护，求实数a的取值范围 （ e为自然对数的底，
8、2.71828e） 21 （12 分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量根据调查数据，该昆虫的数量 y （万只）与时间 x（年） （其中 *xN）的关系为2 x ye为有效控制有害昆虫数量、保 护生态环境，环保部门通过实时监控比值 2 1 ay M xx （其中a为常数，且0a）来进 行生态环境分析 （1）当1a时，求比值 M 取最小值时x的值； （2）经过调查，环保部门发现：当比值 M 不超过 4 e 时不需要进行环境防护为确保恰好3 年不需要进行保护，求实数a的取值范围 （ e为自然对数的底，2.71828e） 22 （12 分）已知函数 322111 ln 342 fxxxxx，设f
9、x的导函数为g x （1）求证0g x； （2）设 g x 的极大值点为 0 x，求证 2 0 1 4 eg x （其中271828e） 参考答案 123456789101112 BCDDCCCBDCCD 1321yx1413515 3 2 3 e .16 22 1(1)nn n 17 （本小题满分10 分） 【 解 析 】 (1)f(x)=(1+sinx)(1-4x)+(1+sinx)(1-4x)=cos x(1-4x)-4(1+sinx)=cos x-4xcos x-4-4sin x. (2)f(x)= 1 x x -2x=1- 1 1x -2x,则 f(x)=2 1 (1)x -2xln
10、 2. 18 （本小题满分12 分） 【解析】所有奇数项的二项式系数之和为128， 2 128 2 n ，解得8n. （1） 3 81 () 2 x x 的第1r项为 8 4 3 88 3 188 11 ()( )( ) 22 r rrrrr r x TCCx x ， 令 84 0 3 r ，得 2r = ，则常数项为 2 38 6 17 216 TC； （2） 23410 (1)(1)(1)(1) +(1)xxxxx 展开式中 3 x 的系数为： 333433 34104410 CCCCCC 433 5510 CCC 4 11 330C. 19 （本小题满分12 分） 【解析】（1）由(0)
11、0f得0c. 2 ( )32fxxaxb，由 (0)0f得 0b ， 322 ( )()fxxaxxxa， 则 易 知 图 中 所 围 成 的 区 域 （ 阴 影 ） 面 积 为 0 27 ( ) 4 a f x dx ，从而得3a， 32 ( )3f xxx. （2）由（ 1）知 2 ( )363 (2)fxxxx x. ,( ),( )x fxf x 的取值变化情况如下： x (,0) 0 (0,2)2(2,) ( )fx0 0 ( )f x 单调 递增 极大值 (0)0f 单调 递减 极小值 (2)4f 单调 递增 又(3)0f，所以当03m时, max ( )(0)0f xf； 当3m
12、时, 32 max( )()3.f xf mmm 综上可知：当03m时, max ( )(0)0fxf； 当 3m 时, 32 max ( )()3.f xf mmm 20 （本小题满分12 分） 【解析】（1）当1a时， 2 2 (1) 1 x e Mx xx ，2 2 212 1 x xxe M xx 列表得： 2 0 单调减极小值单调增 M在 1,2 上单调递减，在 2, 上单调递增 M 在2x时取最小值； （ 2）2 2 212 (0) 1 x a xxe Ma xx 根据（ 1）知： M 在1,2上单调减，在 2,上单调增 ,确保恰好3 年不需要进行保护 4 3 4 4 4 12 2
13、 3 7 2 4 13 Mee ae Me ae Me ， 解得： 137 22 e a,实数a的取值范围为 13 7 , 22 e 21 （本小题满分12 分） 【解析】（1）当1a时， 2 2 (1) 1 x e Mx xx ，2 2 212 1 x xxe M xx 列表得： 2 0 单调减极小值单调增 M在1,2上单调递减，在2,上单调递增M在2x时取最小值； （2）2 2 212 (0) 1 x a xxe Ma xx 根据（1）知：M在 1,2 上单调减， 在 2, 上单调增 确保恰好3 年不需要进行保护 4 3 4 4 4 12 2 3 7 2 4 13 Mee ae Me ae
14、 Me ，解得： 137 22 e a 答：实数a的取值范围为 13 7 , 22 e 22 （本小题满分12 分） 【解析】（1）由已知( )f x 的导函数为 2 ( )g xxxxlnx 要证( )0g x，只需要证明10 xlnx 设 ( )1xx lnx ，则 1 ( ) x f x x 故 ( )h x 在(0,1)递减，在 (1,)递增， 故110h xxlnx h （2）证明：因为 2 ( )g xxxxlnx， 所以( )22gxxlnx 令( )22h xxlnx ，则 1 2() 1 2 ( )2 x h x xx 可知，当 1 (0,) 2 x时，( )h x单调递减，当 1 ( 2 x，) 时， ( )h x 单调递增 又 2 ()0h e ， 1 ( )0 2 h，10h，所以( )h x在 1 (0,) 2 有唯一零点 0 x， 在 1 ( 2 ，) 有唯一零点1 且当 0 (0,)xx，( )0h x，当 0 (xx ，1) ， ( )0h x，所以 0 xx是( )g x的唯一的 极大值 点，故 00 220 xlnx ， 2 0(xe ， 1 ) 2 所以 22 0000000 1 ( )() 4 maxg xg xxxx lnxxx 因为 11 (0,) 2 e，显然 12 0 ()()g xg ee,故 2 0 1 () 4 eg x
