《中考数学小题精炼总复习专题提升以特殊四边形为背景的计算与证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学小题精炼总复习专题提升以特殊四边形为背景的计算与证明（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、以特殊四边形为背景的计算与证明 一、以平行四边形为背景的计算与证明 ( 第 1 题图) 1已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，E，F为对角线AC上两点，且AECF，DFBE. 求证：四边形ABCD为平行四边形 证明：ABCD， DCABAC. DFBE， DFABEC， AEBCFD. 在AEB和CFD中， BACDCF， AECF， AEBCFD， AEBCFD(ASA) ， ABCD. 又ABCD， 四边形ABCD为平行四边形 ( 第 2 题图) 2如图，已知D是ABC的边AB上一点，CEAB，DE交AC于点O，且OAOC. 求证：四边 形ADCE是平行四边形 证明：CEAB， AD
2、ECED. 在AOD与COE中， ADECED， AODCOE， OAOC， AODCOE(AAS) ， ODOE. 又OAOC， 四边形ADCE是平行四边形 ( 第 3 题图) 3如图，已知点A( 4，2)，B( 1，2)， ?ABCD的对角线交于坐标原点O. (1) 请直接写出点C，D的坐标 (2) 写出从线段AB到线段CD的变换过程 (3) 直接写出平行四边形ABCD的面积 解：(1) 四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD关于点O中心对称， 点A( 4，2)，B( 1，2)， 点C(4，2)，D(1，2) (2) 线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转 180( 或向右平移5
3、 个单位 ) (3) 由(1) 得：点A到y轴距离为4，点D到y轴距离为1，点A到x轴距离为2，点B到x 轴距离为 2， S?ABCD的可以转化为边长为5 和 4 的矩形面积， S?ABCD5420. 4如图，在 ?ABCD中，若AB6，AD10，ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于 点F，求DF的长 ( 第 4 题图) ( 第 4 题图解) 解：如解图，四边形ABCD为平行四边形， ABDC6，ADBC10，ABDC. ABDC， 13， 又BF平分ABC， 12， 23， BCCF10， DFCFDCBFDC1064. 二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明 ( 第 5 题图)
4、 5如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，n) ，B(m，n)(m2)，D(p，q)(qn) ，点B， D在直线y 1 2x 1 上四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且ABCD，CD4，BE DE，AEB的面积是2. 求证：四边形ABCD是矩形 ( 第 5 题图解) 解：如解图，过点E作EFAB于点F. ABCD， 12，34， 在ABE和CDE中， 12， 34， BEDE， ABECDE， AECE. 又BEDE， 四边形ABCD是平行四边形 ABCD4. 点A(2，n) ，B(m，n)(m2)， ABx轴，CDx轴 m6. n 1 2 614. 点A(2，4)，B(6，4)
5、AEB的面积是2，EF1， ?ABCD的面积为ABE的面积的4 倍， S?ABCD8， ?ABCD的高为 2. qn，q2. DAAB， 四边形ABCD是矩形 6如图，在ABC中，ABBC，BD平分ABC. 四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F， 连结CE. 求证：四边形BECD是矩形 ( 第 6 题图) 证明：ABBC，BD平分ABC， BDAC，ADCD. 四边形ABED是平行四边形， BEAD，BEAD， BE綊CD， 四边形BECD是平行四边形 BDAC，BDC90， ?BECD是矩形 7如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且
6、PNB3CBN. (1) 求证：PNM2CBN. (2) 求线段AP的长 ( 第 7 题图) ( 第 7 题图解) 解：(1) 四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点， MNBC， CBNMNB， PNB3CBNMNBPNM， PNM2CBN. (2) 如解图，连结AN. 根据矩形的轴对称性，可知PANCBN， MNAD， PANANM. 由(1) 知PNM2CBN， PANPNA， APPN. ABCD4，M，N分别为AB，CD的中点， DN2. 设APx，则PD6x， 在 RtPDN中，PD 2 DN 2PN2， (6x) 222 x 2，解得 x10 3 . AP 10 3
7、. 8如图，在矩形ABCD中，点F是CD的中点，连结AF并延长交BC延长线于点E，连结AC. (1) 求证：ADFECF. (2) 若AB1，BC2，求四边形ACED的面积 ( 第 8 题图) 解：(1) 证明：F是CD中点， DFCF. 四边形ABCD是矩形， ADBC，即ADCE. ADFECF， 在ADF和ECF中， ADFECF， DFCF AFDEFC， ADFECF(ASA) (2) 四边形ABCD是矩形， ADBC2，ABCD1，CDAD. 由(1) 知，ADFECF. ADCE. 又ADCE， 四边形ACED是平行四边形， 四边形ACED的面积ADDC2. 9如图，在ABC和E
8、DC中，ACCECBCD；ACBDCE90，AB与CE交于F， ED与AB，BC分别交于点M，H. ( 第 9 题图) (1) 求证：CFCH. (2) 如图， ABC不动， 将EDC绕点C旋转到BCE45时， 试判断四边形ACDM是什么 四边形？并证明你的结论 解：(1) 证明：ACCECBCD，ACBECD90， ABDE45. 在BCF和ECH中， BE， BCEC， BCEECH， BCFECH(ASA) CFCH. (2) 四边形ACDM是菱形 证明：ACBDCE90，BCE45， 1245. E45， 1E， ACDE. ACD9045135， AACD45135180， AMCD
9、. 四边形ACDM是平行四边形 ACCD， 四边形ACDM是菱形 ( 第 10 题图) 10如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BEAC，CEBD. (1) 求证：四边形OBEC是矩形 (2) 若菱形ABCD的周长是410，tan1 2 ，求四边形OBEC的面积 解：(1) 证明：菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ACBD. BEAC，CEBD， BOCOCEOBE90， 四边形OBEC是矩形 (2) 菱形ABCD的周长是410， ABBCADDC10. tan1 2 ， 设COx，则BODO2x， x 2(2 x) 2( 10) 2， 解得x2(负值舍去 ) ， 四边
10、形OBEC的面积为22 24. ( 第 11 题图) 11如图，已知ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连结CE，过点C作CFBA 交PQ于点F，连结AF. (1) 求证：AEDCFD. (2) 求证：四边形AECF是菱形 (3) 若AD3，AE5，则菱形AECF的面积是多少？ 解：(1) PQ为线段AC的垂直平分线， AECE，ADCD. CFAB， EACFCA，CFDAED， 在AED与CFD中， EACFCA， AEDCFD， ADCD， AEDCFD(AAS) (2) AEDCFD， AECF， EF为线段AC的垂直平分线， ECEA，FCFA， ECEAFCFA， 四边
11、形AECF为菱形 (3) 四边形AECF为菱形， ACEF. AD3，AE5， 根据勾股定理，得ED4， EF8，AC6， S菱形 AECF86224， 菱形AECF的面积是 24. ( 第 12 题图) 12如图，在ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延 长线F，且AFBD，连结BF. (1) 求证：BDCD. (2) 如果ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论 (3) 当ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形 ( 写出条件即可，不要求证明)? 解：(1) 证明：AFBC， AFEDCE. E是AD的中点， DEAE. 在AEF与DEC中
12、， AFEDCE， AEFDEC， AEDE， AEFDEC(AAS) ， AFDC. AFBD， BDCD. (2) 四边形AFBD为矩形，证明如下： AFBD，AFBD， 四边形AFBD为平行四边形 ABAC，BDDC， ADBC， BDA90， 四边形AFBD为矩形 (3)ABAC，且BAC90. 13如图，在RtABC中，BAC90，ADCD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延 长线与边BC相交于点F，AGBC，交DE于点G，连结AF，CG. ( 第 13 题图) (1) 求证：AFBF. (2) 如果ABAC，求证：四边形AFCG是正方形 证明： (1) ADCD，点E是边AC的
13、中点， DEAC. 即得DE是线段AC的垂直平分线 AFCF. FACACB. 在 RtABC中，由BAC90， 得BACB90，FACBAF90. BBAF. AFBF. (2) AGCF，AGECFE. 又点E是边AC的中点，AECE. 在AEG和CEF中， AGECFE， AEGCEF， AECE， AEGCEF(AAS) AGCF. 又AGCF， 四边形AFCG是平行四边形 AFCF， 四边形AFCG是菱形 在 RtABC中，由AFCF，AFBF，得BFCF. 即得点F是边BC的中点 又ABAC， AFBC，即得AFC90. 四边形AFCG是正方形 14如图，在正方形ABCD中，P是对
14、角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA PE，PE交CD于F. (1) 证明：PCPE. (2) 求CPE的度数 (3) 如图，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连结CE， 试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由 ( 第 14 题图) 解：(1) 证明：四边形ABCD为正方形， ABBC，ABPCBP45. 在ABP和CBP中， ABBC， ABPCBP， PBPB， ABPCBP(SAS) ， PAPC. PAPE， PCPE. (2) 由(1) 知，ABPCBP， BAPBCP， DAPDCP. PAPC， DAPE， DCPE. CFPEF
15、D( 对顶角相等 ) ， 180CFPPCF180DFEE， 即CPEEDF90. (3)APCE. 理由如下： 四边形ABCD为菱形， ABBC，ABPCBP，ADCABC120，BADBCD. 在ABP和CBP中， ABCB， ABPCBP， PBPB， ABPCBP(SAS) ， PAPC，BAPBCP. PAPE， PCPE， DAPDCP. PAPE， DAPE， DCPE. CFPEFD( 对顶角相等 ) ， 180CFPPCF180DFEE， 即CPFEDF180ADC18012060， EPC是等边三角形， PCCE， APCE. 15在平面直角坐标系xOy中，直线yx3 与x
16、轴，y轴分别交于A，B，在AOB内部 作正方形， 使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐 标 解：分两种情况； 如解图，令x0，则y3，令y0，则x3， OAOB3， BAO45. DEOA， DEAE. 四边形COED是正方形， OEDE， OEAE， OE 1 2OA 3 2 ， 点E( 3 2 ，0) ( 第 15 题图解) 如解图，由知OFC，EFA是等腰直角三角形， CF2OF，AF2EF. 四边形CDEF是正方形， EFCF， AF22OF2OF， OAOF2OF3， OF1， 点F(1，0) 正方形落在x轴正半轴的顶点坐标为( 3 2 ，0)或(1，0)
