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1、甘肃省张掖市 2019-2020学年 高二下学期期中考试（理） （考试时间：120 分钟试卷满分： 150 分） 测试范围：选修 2-2 一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1已知复数 1i z i （i为虚数单位），则复数z的虚部是（） A1B-1CiDi 2曲线sin (02 )yxx 与x轴所围成的封闭图形的面积为（） A2B2CD4 3已知复数z 满足134zii，则|z() A 5 2 B 5 4 C 5 2 D 5 2 2 4利用反证法证明“ 若|2|2| 0 xy，则2xy” 时，假设正确的是（） A ,
2、 x y都不为 2B x y 且 ,x y都不为 2 C ,x y不都为 2D xy 且,x y不都为 2 5设 34 43 i z i ， 2 1fxxx，则fz（） AiBiC1iD1 i 6 若曲线 32 22yxaxax上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数 a等于（ ） A0B1C2D1 7欧拉公式e ixcosxisin x(i 为虚数单位 )是由瑞士著名数学家欧拉发明的， 它将指数函数 的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被 誉为 “ 数学中的天桥” 根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于() A第一象限B第二象限
3、C第三象限D第四象限 8 用数学归纳法证明 2 2 n n （ * nN ， 5n ） 成立时，第二步归纳假设的正确写法为（） A假设nk时，命题成立B假设nk（ * kN）时，命题成立 C假设 nk（5n ）时，命题成立D假设n k（5n ）时，命题成立 9函数 | | ( )sin | 2 x f xex的部分图象大致为（） ABCD 10 在复平面内， 复数,zabi aR bR对应向量 OZ（ O为坐标原点） ， 设 OZr， 以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则cossinzri，法国数学 家棣莫弗发现棣莫弗定理： 1111 cossinzri， 2222 cossinz
4、ri，则 121 21212 cossinz zrri ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： cossincossin n nn zrirnin ，则 10 13i （） A1024 1024 3i B 102410243i C512 5123i D 5125123i 11定义方程fxfx的实根 0 x叫做函数fx的“ 新驻点 ” ，若函数 2 1 x g xe， ln1h xx， 3 1xx的 “ 新驻点 ” 分别为 a，b，c，则a，b，c的大小关系 为（） A abc Bc ba Cc ab Db ca 12某莲藕种植塘每年的固定成本是1 万元， 每年最大规模的种植量是 8 万斤， 每种植
5、一斤 藕，成本增加0.5 元.如果销售额函数是 32191 ( ) 8162 f xxaxx（x是莲藕种植量， 单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2 万斤，利润是2.5 万元，则要使 利润最大，每年需种植莲藕（） A8 万斤 B6 万斤 C3 万斤 D5 万斤 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分） 13一辆汽车沿直线方向行驶，刹车后汽车速度 2 9v tt（v 的单位： m/s，t 的单位： s） ， 则该汽车刹车后至停车时的距离为_米 . 14在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为 1 S，外接圆面积为 2 S ，则 1 2 1 4 S S
6、，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为 1 V，外 接球体积为 2 V，则 1 2 V V _. 15在等差数列 n a中，若 10 0a，则有等式 121219 19, nn aaaaaannN 成立，类比上述性质，相应地：在等 比数列 n b中，若 9 1b ，则有等式 _ 成立 . 16已知函数 3 31fxxx，若函数 2 1g xfxafxa 有四个零点， 则实数的a的取值范围是_ 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知复数 3i()zb bR，且13iz为纯虚数 （1）求复数z； （2）若 2 z w i
7、，求复数w的模w 18 （12 分）已知 13 22 i （i 为虚数单位） ，求： （1） 22 22 22 ； （2） 2 2 1 ； （3）类比 2 1i i，探讨 （ 3 1， 为虚数）的性质，求 n nR的值 . 19 （12 分）已知yfx是二次函数，方程0fx有两个相等的实根，且 22fxx. （1）求fx的解析式 （2）求曲线yfx与曲线 2 41yxx所围成的图形的面积. 20 （12 分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量根据调查数据，该昆虫的数量 y （万只）与时间x（年） （其中*xN）的关系为2 x ye 为有效控制有害昆虫数量、保 护生态环境，环保部门通过实时监
8、控比值 2 1 ay M xx （其中a为常数，且0a）来进 行生态环境分析 （1）当1a时，求比值M取最小值时x的值； （2）经过调查，环保部门发现：当比值 M 不超过 4 e 时不需要进行环境防护为确保恰好3 年不需要进行保护，求实数a的取值范围 （ e为自然对数的底，2.71828e） 21 （12 分）某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查， 每年投入广告费t 百万元，可增加销售额约为 2 7tt百万元 . （） 若该公司将一年的广告费控制在4 百万元之内， 则应投入多少广告费，才能使该公司 由此增加的收益最大？ （）现该公司准备共投入5 百万元，分别用于广
9、告促销和技术改造，经预测，每投入技术 改造费(15)xx百万元，可增加的销售额约为 21 4ln 2 xx百万元，请设计一个资金分 配方案，使该公司由此增加的收益最大. （注：收益 =销售额 -投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入） 22 （12 分）已知函数( )(2)2(1ln)f xa xxa （1）当1a时，求( )f x 的单调区间； （2）若函数( )f x 在区间 1 0, 2 上无零点，求a的最小值 . 参考答案 123456789101112 BDDCABBCDDBB 13 1814 1 27 1512121717,nnb bbb bbnnN16, 31,. 1
10、7 （本小题满分10 分） 【答案】（1） 3iz （2） 22 71 ( )( )2 55 w 【解析】1 133339ibibb i 13iz是纯虚数 330b，且90b 1b，3iz 32 3771 2 222555 ii ii wi iii 22 71 ( )( )2 55 w 18 （本小题满分12 分） 【答案】（1） 3（2）1（3） 1,3 ,32, ,31 n nk nkkZ nk 【解析】（1） 13 22 i ， 213 22 i ， 3 1， 2 10， 1， 2 222342342 2244445583. （2） 42 2 2222 111 1. （3）由（ 1）可知
11、 213 22 i ， 3 1， 1,3 ,32, ,31 n nk nkkZ nk . 19 （本小题满分12 分） 【答案】（1） 2 21fxxx（2）9 【解析】（1）设 2 0fxaxbxc a，则 2 40, 222, bac axbx 所以1,2,1abc， 2 21fxxx . （2） 2 2 21, 3 41 yxx x yxx 或0 x. 0 22320 3 3 2 41213|9 3 Sxxxxdxxx. 20 （本小题满分12 分） 【答案】（1） 2x （2） 13 7 , 22 e 【解析】（1）当1a时， 2 2 (1) 1 x e Mx xx ，2 2 212
12、1 x xxe M xx 列表得： 2 0 单调减极小值单调增 M在1,2上单调递减，在2,上单调递增 M 在 2x 时取最小值； （ 2） 2 2 212 (0) 1 x a xxe Ma xx 根据（ 1）知： M 在1,2上单调减，在 2,上单调增 ,确保恰好3 年不需要进行保护 4 3 4 4 4 12 2 3 7 2 4 13 Mee ae Me ae Me ，解得： 137 22 e a,实数a的取值范围为 13 7 , 22 e 21 （本小题满分12 分） 【解析】（）设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元， 则由 2 22 7639 04ftttttttt， 当
13、 t=3 时，f(t)取得最大值9，即投入 3 百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最 大. （）用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(5-x)百万元，设由此 增加的收益是g(x)百万元 . 则 2 2211 4ln57 5534ln5 22 g xxxxxxxx. 2 41 434 3,15 xx xx gxxx xxx . 则当14x时，0gx；当45x时，0gx. 当 x=4 时， g(x)取得最大值 . 即 4 百万元用于技术改造，1 百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大. 22 （本小题满分12 分） 【答案】 （）fx的单调递减区间为0,2， 单调递增区
14、间为2,（2）2 4ln2. 【解析】（1）当1a时， 12lnfxxx，定义域为0, ， 则 2 1fx x ， 令0fx，得2x，令0fx，得02x fx的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2, （2）函数fx在区间 1 0, 2 上无零点， 在区间 1 0, 2 上，0fx恒成立或0fx恒成立， 22 1ln212lnfxa xxaaxx， 1111 22 1 ln4ln 22 2222 faaa ， 当 1 0 2 f 时，24ln 2a， 在区间 1 0, 2 上， 212ln4ln 212lnfxaxxxx， 记 4ln 212lnxg xx， 11 4ln 212ln0 22
15、1 2 g 则 2 4ln 2gx x ， 在区间 1 0, 2 上， 2 4ln 24ln 240 x gx， 在区间 1 0, 2 上，g x单调递减， 1 0 2 g xg ，即4ln 212ln0 xx， 4ln 212ln0fxxx， 即 0fx 在区间 1 0, 2 上恒成立，满足题意； 当 1 0 2 f时，4ln 22a， 24ln 211 0 162 a ee ， 2222 22 1ln21 aaaa fea eeaae， 24ln 20a ， 2 10 a e ， 22 210 aa feae， fx在 21 , 2 a e 上有零点，即函数fx在区间 1 0, 2 上有零点，不符合题意. 综上所述，24ln 2a，此时，函数fx在区间 1 0, 2 上无零点， a的最小值 为2 4ln 2.
