2020届江苏省泰州市高三下学期调研测试数学(理科)试题

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1、1 20192020学年度江苏省泰州市第二学期调研测试 高三数学试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题 （本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1已知集合Al ，2，B2，4，8 ，则 AUB 2若实数x，y 满足 xyi 1(xy)i（ i 是虚数单位） ，则 xy 3如图是容量为100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间6，18)内的频数为 4根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为 5若双曲线 22 22 1 xy ab (a0， b0)的一条渐近线方程为2yx，则该双曲线的离心率 为 6将一颗质地均匀的骰子（一

2、种各个面上分别标有1，2，3， 4，5，6 个点的正方体玩具） 先后抛掷2 次，这两次出现向上的点数分别记为x，y，则1xy的概率是 7在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2 4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的3 倍，则点P 的横坐标为 8我国古代数学名著增删算法统宗中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步 不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”它的大意是：有人要到某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半， 一共走了六天到达目的地那么这个人第一天走的路程是里 9若定义在R 上的奇函数( )f x满足(4)( )

3、f xf x，(1)1f，则(6)f(7)f(8)f 的值为 10 将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为9 3， 则 R 11若函数 2 ( ) 1 xaxa fx xxa ， ， 只有一个零点，则实数a 的取值范围为 2 12在平面直角坐标系xOy 中，已知点A( 1 x， 1 y)，B( 2 x， 2 y)在圆 O： 22 4xy上， 且满足 1212 2x xy y，则 1212 xxyy的最小值是 13在锐角 ABC 中，点 D，E，F 分别在边AB ，BC，CA 上，若AB3AD uuu ruuu r ，ACAF uuu ruu u r ， 且BC ED2EF

4、ED6 u uu r uuu ruu r uuu r ，ED1 u uu r ，则实数的值为 14在 ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足AD BD，3tan2B2tanA30，则 BD CD 的取 值范围为 二、解答题 （本大题共6 小题，共计90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 15 （本小题满分14 分） 如图， 在三棱锥P ABC 中，PA平面 ABC ，AB AC，点 D，E，F 分別是 AB，AC ， BC 的中点 （1）求证： BC平面 PDE； （2）求证：平面PAF 平面 PDE 16 （本小题满分14 分） 已知函数 2 1

5、 ( )sinsincos 2 f xxxx，xR （1）求函数( )f x的最大值，并写出相应的x 的取值集合； （2）若 2 () 6 f，( 8 ， 3 8 )，求 sin2的值 3 17 （本小题满分14 分） 某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12 米的圆形温泉池，如图所示，M ， N 是圆 C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心， AC 为半径的圆与圆C 的弦 AM ，AN 分别交于点D，E，其中四边形AEBD 为温泉区， I、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为 池内休息区，设MAB （1）当 4 时，求池内休息区的总面积（III 和 IV 两个部分面积

6、的和） ； （2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长 18 （本小题满分16 分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 M： 22 22 1 xy ab (ab0)的左顶点为A，过点 A 的直线与椭圆M 交于 x轴上方一点B， 以 AB 为边作矩形ABCD ， 其中直线 CD 过原点 O 当 点 B 为椭圆 M 的上顶点时，AOB 的面积为 b，且 AB3b （1）求椭圆M 的标准方程； （2）求矩形ABCD 面积 S 的最大值； （3）矩形 ABCD 能否为正方形？请说明理由 4 19 （本小题满分16 分） 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数

7、” （1）判断函数( )1 x x f x e 是否为“ YZ 函数” ，并说明理由； （2）若函数( )lng xxmx(mR)是“ YZ 函数” ，求实数m 的取值范围； （3）已知 32 111 ( ) 323 h xxaxbxb，x(0，)，a，bR，求证：当a 2， 且 0b1 时，函数( )h x是“ YZ 函数” 20 （本小题满分16 分） 已知数列 n a， n b， n c满足 2nnn baa， 1 2 nnn caa （1）若数列 n a是等比数列，试判断数列 n c是否为等比数列，并说明理由； （2）若 n a恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列 n b是等差数

8、列； （3）若数列 n b是各项均为正数的等比数列，数列 n c是等差数列， 求证： 数列 n a 是等差数列 5 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括A， B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 4 2：矩阵与变换 已知列向量 5 a 在矩阵 M 3 4 1 2 对应的变换下得到列向量 2b b ，求 1 M b a B选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为 cos 3sin x y (为参数 )以坐标原 点O为 极 点 ， x 轴 的 正 半

9、轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 sin()4 2 4 ，点 P 为曲线 C 上任一点，求点P 到直线 l 距离的最大值 C选修 4 5：不等式选讲 已知实数 a，b，c 满足 a0，b0，c0， 222 3 abc bca ，求证：3abc 6 【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分10 分） 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE 平面 ABCD ，四边形ABCD 是边长为2 的 正方形， ADE 是等腰直角三角形，且ADE 2 ，EF平面 ADE

10、，EF1 （1）求异面直线AE 和 DF 所成角的余弦值； （2）求二面角BDFC 的余弦值 23 （本小题满分10 分） 给定 n(n3，nN )个不同的数1，2，3， n，它的某一个排列P 的前 k(kN，1 kn)项和为 k S，该排列P 中满足2 kn SS的 k 的最大值为 P k记这 n 个不同数的所有 排列对应的 P k之和为 n T （1）若 n 3，求 3 T； （2）若 n 4l1，lN ，证明：对任意的排列P，都不存在k(kN，1k n)使 得2 kn SS；求 n T(用 n 表示 ) 7 20192020 学年度第二学期调研测试 高三数学答案 一、填空题 1. 1,2

11、,4,82. 1 2 3. 804. 85. 5 6. 5 18 7. 1 2 8.1929. 1 10. 6 11. (1(0,1U12. 2 213.314. (1,2 二、解答题 15.（本题满分14 分） 证明： （1）在ABC中，因为,D E分别是,AB AC的中点， 所以/ /DEBC，2 分 因为BCPDE平面，DEPDE平面， 所以/ /BCPDE平面6 分 （2）因为PAABC平面，DEPDE平面， 所以PADE， 在ABC中，因为ABAC，F分别是BC的中点， 所以AFBC，8 分 因为/ /DEBC，所以DEAF， 又因为AFPAAI，,AFPAF PAPAF平面平面，

12、所以DEPAF平面，12 分 因为DEPDE平面，所以PAFPDE平面平面14 分 16.（本题满分14 分） 解： （1）因为 2 1 ( )sinsincos 2 f xxxx， 所以 1 cos211 ( )sin2 222 x f xx 1 (sin 2cos2 ) 2 xx2 分 2 (sin 2 coscos2 sin) 244 xx 2 sin(2) 24 x4 分 8 当22 42 xk(Z)k，即 3 ( 8 Z)xkk时，( )f x取最大值 2 2 ， 所以( )f x的最大值为 2 2 ，此时x的取值集合为 3 , 8 Zx xkk 7 分 （2）因为 2 () 6 f

13、，则 22 sin(2) 246 ，即 1 sin(2) 43 ， 因为 3 (,) 88 ，所以2(,) 422 ， 则 22122 cos(2)1sin (2)1( ) 4433 ，10 分 所以sin2sin(2)sin(2)coscos(2)sin 444444 122 2242 32326 . 14 分 17.（本题满分14 分） 解： （1）在Rt ABM中，因为24AB， 4 ， 所以122MBAM，24cos1212 212 4 MD， 所以池内休息区总面积 1 212 2(12 212)144(22) 2 SMB DM 4 分 （2）在Rt ABM中，因为24AB，MAB，

14、所以24sin,24cosMBAM，24cos12MD， 由24sin0,24cos120MBMD得0, 3 ，6 分 则池内休息区总面积 1 224sin(24cos12) 2 SMB DM，0, 3 ； 9 分 设sin2cos1f，0, 3 ，因为 22133 cos2cos12sin4coscos20cos 8 f， 9 又 1331 cos 82 ，所以 0 0, 3 ，使得 0 133 cos 8 ， 则当 0 0,x时，0ff在 0 0,上单调增， 当 0, 3 x时，0ff在 0 0,上单调减， 即 0 f是极大值，也是最大值，所以 max0 ff， 此时 0 24cos33

15、33AM13 分 答： （1）池内休息区总面积为 2 144(22) m； （2）池内休息区总面积最大时AM的长为(33 33)AMm 14 分 18.（本题满分16 分） 解： （1）由题意： 22 222 3 1 2 abb abb abc ，解得2,2abc， 所以椭圆M的标准方程为 22 1 42 xy 4 分 （2）显然直线AB的斜率存在，设为k且0k， 则直线AB的方程为(2)yk x，即20kxyk， 联立 22 (2) 1 42 yk x xy 得 2222 (12)8840kxk xk， 解得 2 2 24 12 B k x k ， 2 4 12 B k y k ，所以 2

16、22 2 4 1 (2) 12 BB k ABxy k ， 直线CD的方程为ykx，即0kxy，所以 22 22 11 kk BC kk ， 所以矩形ABCD面积 2 22 2 4 12888 2 2 1 12122 2 1 2 kkk S kk k k k ， 10 所以当且仅当 2 2 k时，矩形ABCD面积S的最大值为2 211 分 （3）若矩形ABCD为正方形，则ABBC， 即 2 2 2 4 12 12 1 kk k k ，则 32 2220kkk(0)k， 令 32 ( )222(0)f kkkkk， 因为(1)10,(2)80ff，又 32 ( )222(0)f kkkkk的图象不间断， 所以 32 ( )222(0)f kkkkk有零点，所以存在矩形ABCD为正方形 16 分 19.（本题满分16 分） 解： （1）函数( )1 x x f x e 是“ YZ 函数”，理由如下： 因为( )1 x x f x e ，则 1 ( ) x x fx e ， 当1x时，( )0fx；当1x时，( )0fx，