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1、第 1 页 共 18 页 2019-2020 学年辽宁省六校高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 1复数 z满足 2 11zii，则z （） A 1 2 B 2 2 C1D 2 【答案】 B 【解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到 答案 【详解】 由题意，复数 2 11zii，得 22 11(1)11 (1)2222 iiii zi iii ， 22 112 | 222 z 故选 B 【点睛】 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的 运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题
2、 2不等式 tan3x 的解集是（） A|, 32 xkxkkZB|, 32 xkxkkZ C |22, 32 xkxkkZ D |22, 32 xkxkkZ 【答案】 B 【解析】 由函数tanyx的图象求得x 的范围 . 【详解】 因为tan3x，所以结合函数tanyx的图象可得 |, 32 xkxkkZ， 故选： B. 【点睛】 本题考查三角不等式的求解，运用三角函数图象求解不等式，是常用的方法，属于基础 第 2 页 共 18 页 题 . 3设tan ,tan 是方程 2 320 xx 的两个根，则tan()的值为（） A-3B -1C1D3 【答案】 A 【解析】 试题分析：由tan
3、，tan 是方程 x 2-3x+2=0 的两个根，利用根与系数的关系分 别求出 tan +tan及 tan tan 的值，然后将tan（+ ）利用两角和与差的正切函数公式 化简后，将 tan +tan及 tan tan 的值代入即可求出值 解： tan ， tan 是方程 x2-3x+2=0 的两个根， tan +tan=3，tan tan =2,则 tan（+ ）= tantan 1tantan -3，故选 A. 【考点】 两角和与差的正切函数公式 点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入 的思想，熟练掌握公式是解本题的关键 4已知 ABC 的外心是边BC
4、 的中点， AB =(k，1)，AC=(2，3)，则 k 的值为（ ） A5 B -5 C 3 2 D- 3 2 【答案】 D 【解析】 首先可判断三角形为直角三角形，再根据向量的数量积为零计算可得； 【详解】 解：因为 ABC 的外心是边BC 的中点， 所以 ABC 是以A为直角顶点的直角三角形，因为,1ABk，2,3AC 所以 21 30AC ABk ，解得 3 2 k 故选： D 【点睛】 本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 5已知角的终边过点( 4 ,3 ) (0)Pkkk，则2sincos的值是（） A 2 5 B 2 5 C 2 5 或 2 5 第 3 页 共 18 页
5、 D随着k的取值不同其值不同 【答案】 B 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 角的 终 边 过 点( 4 ,3 ) (0)Pkkk， 2 333 sin, 55 25 kk k k 2 4 cos 25 k k = 44 55 k k , 342 2sincos2() 555 . 【考点】 任意角的三角函数值. 6下列函数中，周期为 ，且在(,) 42 上单调递减的是（） AsincosyxxBsincosyxxCtan() 4 yxDcos2yx 【答案】 A 【解析】 逐一考查所给的函数： 1 sincossin 2 2 yxxx，其周期 2 2 T ，在区间 , 42 上单调递减； s
6、incos2 sin 4 yxxx ，其周期 2 2 1 T ，不合题意； tan 4 yx ， 其周期 1 T， 在区间, 42 上单调递增，不合题意； cos2yx 的图象是将函数 cosyx 的图象位于 x轴下方的图象翻折到上 方得到的图象，其周期 2 T ，不合题意； 本题选择 A 选项. 7棱台的上、下底面面积分别为4 和 9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的 比是（） A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 3 4 【答案】 B 【解析】 设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果 【详解】 第 4 页 共 18 页 设棱台的高为h与截得它的棱
7、锥的高H，作出草图，如下图所示： 由相似关系可得， 111 SOOC SOOC ，所以 22 111 22 SSOOC SOOCS 上 下 ，则 2 4 9 Hh H 即 2 4 1 9 h H ， 可得 21 1 33 h H . 故选： B 【点睛】 本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题 8一船沿北偏西45 方向航行，正东有两个灯塔A,B,10AB海里，航行半小时后， 看见一灯塔在船的南偏东 60 ，另一灯塔在船的南偏东 75 ，则这艘船的速度是每小时 （） A5 海里B 5 2 海里C10 海里D10 2海里 【答案】 D 【解析】根据题意作出对应的三角形，结合正弦定理及三角形的边
8、角关系即可得到结论 【详解】 如图所示 ,COA=135 ,ACO= ACB= ABC=15 , OAC=30 ，AB=10 ， AC=10. AOC 中,由正弦定理可得 102 sin135sin30 OC ， 5 2OC ， 第 5 页 共 18 页 5 2 102 1 2 v ， 这艘船的速度是每小时 10 2 海里， 故选 D. 【点睛】 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种： （1）知道两边和一边的对角， 求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）； （ 2）知道两角与一个角的对边，求另 一个角的对边； （3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径 . 二、多
9、选题 9以下命题（其中a，b表示直线， 表示平面），其中错误的是（） A若 / / ,ab b 则/ /aB若/ / ,/ / ,ab则/ /ab C若/ / ,/ /,ab b则/ /aD若/ /a，a， b，则 / /ab 【答案】 ABC 【解析】 根据直线与直线、直线与平面的位置关系可知 A、B、C是错误的，根据直 线与平面平行的性质定理可知D是正确的 . 【详解】 对于 A，若 / / ,ab b则 / /a或a，故A错误； 对于 B，若 / / ,/ /,ab则 / /ab或a与b异面或 a与b相交；故 B错误； 对于C，若/ / , / / ,ab b则 / /a 或a，故C错误
10、； 对于D，根据直线与平面平行的性质定理可知， “ 若 / /a，a， b，则 / /ab” 是正确的， 故选： ABC. 【点睛】 本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了直线与平面平行的性质定理， 属于基础题 . 10ABC是边长为2 的等边三角形，已知向量 a 、 b 满足 ABa 、 ACab ， 则下列结论正确的是（） 第 6 页 共 18 页 A2bB a b C 2a b D(2)abBC 【答案】 AD 【解析】 本题首先可以根据向量的减法得出 BCb ，然后根据 ABC 是边长为2 的 等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量 a 、 b 之间的夹角为 1
11、20 计算出 2a b ， C错误，最后通过计算得出(2)0abBC，D 正确 . 【详解】 因为 ABa ， ACab ，所以 BCACABabab， 因为ABC是边长为2 的等边三角形，所以 2bBC ，A 正确， 因为 ABa ， BCb， 所以向量 a 、 b 之间的夹角为 120 ，B 错误， 所以 1 cos120222 2 a bab， C 错误， 因为 2 2 (2)(2)22220abBCab ba bb ， 所以(2)abBC， D 正确， 故选： AD. 【点睛】 本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量 a 、 b 之间的夹角为，则 cosa bab，若 0a b
12、 ，则 ab，考查推理能力与计算能力，是中档题 . 11关于函数 23 3 ( )3sincos3 3sin1 2 f xxxx，下列命题正确的是（） A由121fxfx可得12xx 是 的整数倍 B ( )yf x 的表达式可改写成 5 ( )3cos 21 6 f xx C ( )yf x 的图像关于点 3 ,1 4 对称 D ( )yf x 的图像关于直线 12 x对称 【答案】 BD 第 7 页 共 18 页 【解析】 首先将函数化简，再根据三角函数的图象和性质，分别进行求解判断即可 【详解】 解：因为 23 3 ( )3sincos3 3sin1 2 fxxxx 所以 33 3 (
13、)sin2cos213sin 21 223 f xxxx 解： A由 ( )3sin 211 3 f xx得sin 20 3 x， 则函数的最小正周期T，则 12 xx是 22 T 的整数倍，故 A错误， B 55 ( )3sin213cos23cos213cos 21 32366 f xxxxx， 故B正确， C 当 3 4 x时， 3371 sin 2sinsin0 432362 ， 即函数关于 3 ,1 4 不对称，故 C错误， D当 12 x时， sin 2sinsin1 123632 ，是最小值，则 ( )yf x 的图象关于直线 12 x对称，正确， 故正确的是 BD， 故选： B
14、D 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，结合函数的对称性，三角函数的诱导公式是解决 本题的关键，属于中档题 三、填空题 12已知5ab，向量 a与b 的夹角为 2 3 ，则2ab=_. 【答案】 5 3 【解析】 运用向量的数量积的定义，计算向量 a，b的数量积，再由向量的平方即为模 的平方，计算代入数据，即可得到所求值 第 8 页 共 18 页 【详解】 解： | |5ab ，向量a与b的夹角为 2 3 ， 则 225 cos 32 a ba b， 所以 2 22 22 25 224445545 3 2 abababa b 故答案为： 5 3 【点睛】 本题考查平面向量的数量积的定义
15、和性质，考查运算能力，属于基础题 13已知ABC 中，26ac，45A，则b _. 【答案】 31 【解析】 已知两边和其中一边的对角解三角形用余弦定理求解即可. 【详解】 解： 222 2cosabcbcA， 所以 2 4626 cos45 ,31bbb， 故答案为： 31. 【点睛】 已知两边和其中一边的对角解三角形，用余弦定理求解时，只要解出的边是正数就符合 题意；基础题. 四、双空题 14一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 _; 该四面体的体积为_. 【答案】3 1 3 【解析】 先求出正四面体的高，结合球心在高上及勾股定理即可求出球的半径，利用球
16、 的表面积公式和三棱锥的体积公式即可解决. 【详解】 由题意可知，该四面体为正四面体，如图正四面体ABCD,棱长都为 2 ，外接球球 心为O，E为BCD的中心，设外接球半径为 R，则 6 , 3 BEOAOBR,在 第 9 页 共 18 页 RtABE中， 22 22 3 2 33 AEABBE,在RtBOE中， 2 22 OBBEAER,即 2 2 22 3 33 RR ，解得 3 2 R ,所以此球的表面积为 2 43R，该四面体的体积为 11. 33 BCD SAE 故答案为：3； 1 3 【点睛】 本题主要考查正四面体的外接球问题及球的表面积、三棱锥的体积公式，属于基础题. 15函数2sin2 6 fxxm，若 0fx在0, 2 x上恒成立，则m 的取 值范围是 _;若fx在0, 2 x上有两个不同的解，则m 的取值范围是 _. 【答案】
