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1、第二章有限元法的力学基础-弹性力学基本理论,第二节 平面应力问题与平面应变问题,第三节 平衡微分方程,第四节 几何方程 刚体位移,第五节 物理方程,第六节 一点的应力状态确定,第七节 边界条件,第八节 圣维南原理,第一节 弹性力学概论,第一节 弹性力学概论,弹性力学(Theory of Elasticity): 研究载荷作用下弹性体中内力和变形的一门学科。,第一节 弹性力学概论,1. 什么是弹性力学?,一. 弹性力学内容,第一节 弹性力学概论,2. 弹性力学与其它力学分支的对比,理论力学,材料力学,结构力学,弹性力学,研究对象 目标,第一节 弹性力学概论,2. 弹性力学与其它力学分支的对比,研
2、究方法,材料力学:,借助于直观和实验现象作一些假定,如平面截 面假设 等,然后由静力学、几何关系、物理方 程三方面进行分析。,弹性力学:,仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分 析,放弃了材力中的简化假定。,近似解法:变分法、差分法、有限单元法等。,一维数学问题,求解常微分方程。,三维数学问题,求解偏微分方程。,近似解,解析法,第一节 弹性力学概论,如:梁的弯曲问题,材料力学,当 l h 时,两者误差很小,如:混凝土深梁,弹性力学以微元体为研究对象,建立方程求解,得到弹性体变形的一般规律。所得结果更符合实际。,弹性力学,第一节 弹性力学概论,1. 连续性假定,整个物体的体积都被组成物体的介质
3、充满,不留下任何空隙。,该假定在研究物体的宏观力学特性时,与工程实际吻 合较好;研究物体的微观力学性质时不适用。,作用:,所有物理量都可以表示成空间坐标的连续函数。,如:,可以应用数学分析工具,二. 弹性力学基本假设,第一节 弹性力学概论,2. 完全弹性假定,物体在外力拆除之后,能完全恢复原形,没有任何剩余变形。,脆性材料 一直到破坏前,都可近似为线弹性的;,塑性材料 比例阶段,可视为线弹性的。,作用:,E, u 等材料常数为常量,不随应力、应变的 变化 而变化 物理方程线性化,完全弹性,第一节 弹性力学概论,3. 均匀性假定,假定整个物体是由同一种材料组成 的,各部分材料性质相同。,作用:,
4、弹性常数(E、)不随位置坐标而变化;,取微元体分析的结果可应用于整个物体。,4. 各向同性假定,假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。,作用:,弹性常数(E、)不随坐标方向而变化;,符合上述4个假定的物体,称为理想弹性体。,第一节 弹性力学概论,5. 小变形假定,假定位移和形变是微小的,即物体受力后物体内各点 位移远远小于物体的原来的尺寸,且应变和转角远小于1。,作用:,建立方程时,可略去高阶无穷小量;,可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。,两层含义:,位移是微小的:各点位移 物体尺寸,应变是微小的:,弹性力学研究范围 -理想弹性体的 小变形问题,五大假设,第一节 弹性力学概论,1.外力
5、,1) 体力: 分布在物体体积内部。(重力、惯性力),体力分量符号规定:沿坐标轴正向为正,沿坐标轴负向为负。,体力平均集度-(矢量),量纲:,P,三. 弹性力学基本概念,第一节 弹性力学概论,2) 面力: 分布在物体表面上的力。(流体压力、接触力),面力分量符号规定:沿坐标轴正向为正,沿坐标轴负向为负。,面力平均集度-(矢量),量纲:,第一节 弹性力学概论,内力的集度: 物体内某一点的应力,物体内部相邻部分之间的相互作用力。,内力平均集度,2.内力,正应力:应力沿其作用截面的法向分量。,切(剪)应力:应力沿其作用截面的切向分量。,P,第一节 弹性力学概论,一点应力状态及其表示,一点的应力状态:
6、,通过一点的各个面上应力状况的集合,面:,面:,面:,正面:,外法线沿坐标轴正向,负面:,外法线沿坐标轴负向,正面上的应力:,负面上的应力:,沿坐标轴正向为正,负向为负,沿坐标轴负向为正,正向为负,应力符号的意义:,第1个下标 x 表示所在面的法线方向;,第2个下标 y 表示的方向.,正负号规定:,第一节 弹性力学概论,用矩阵表示:,假设弹性体处于静力平衡状态,以 a, b 为轴,列力矩平衡方程:,同理:,切应力互等定理:,行表示面,列表示轴向,第一节 弹性力学概论,一点的独立 应力分量有6个:,结论:物体内任一点,知道了以上六个应力分量,就可以 确定该点的应力状态,切应力互等定理,量纲:,第
7、一节 弹性力学概论,3.形变,物体形状的改变,一点的应变状态:,通过 任一点作三个沿正坐标方向的微分线段,,并以这些微分线段的应变表示该点的应变状态,正应变,线段单位长度的改变,切应变,两线段间直角的改变,符号规定:,正应变:伸长为正,缩短为负,切应变:直角变小为正,变大为负,其中,一点的独立应变分量:,第一节 弹性力学概论,4.位移,物体内一点位置的变化,位移分量:,方向:沿坐标轴正向为正,负向为负,本节小结:,已知物理量:,未知物理量:,边界条件,能否减少未知量的个数?,?,第二节 平面应力问题与平面应变问题,第二节 平面应力问题与平面应变问题,本节小结:,已知物理量:,未知物理量:,边界
8、条件,能否减少未知量的个数?,?,第二节 平面应力问题与平面应变问题,1. 平面应力问题,(1) 几何特征:,等厚度平面薄板。, 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,(2) 受力特征,t 不变,约束作用于板边且沿 z 向不变化。,如:板式吊钩,旋转圆盘,工字形梁的腹板等,几何特征与受力特征为外在特征,是充分而非必要条件,注意:,第二节 平面应力问题与平面应变问题,(3) 应力特征,由于板面上不受力,有,由切应力互等定理,有,平面应力问题只有三个独立应力分量:,形状、外力、约束沿z 向不变,应力分量与 z 坐标无关,结论:,注意: 1) 应力特征为内在特征,是充要条件; 2)平面应力问题的
9、实质:只有平面应力分量,且仅为x, y函数的弹性力学问题。,仅为(x,y)函数,第二节 平面应力问题与平面应变问题,x,2. 平面应变问题,(1) 几何特征, 常截面的长柱体,(2) 受力特征,约束 沿长度 z 方向不变化,沿长度方向等截面,如:水坝,充气圆筒,隧道,几何特征与受力特征为外在特征,是充分而非必要条件,注意:,第二节 平面应力问题与平面应变问题,无限长,(3) 形变特征,设 z方向为无限长,则应力,应变,位移等沿 z 方向都不变化,与z 坐标无关,仅为 x,y 的函数。,平面应变问题只有三个独立应变分量:,结论:,注意:1)形变特征为内在特征,是充要条件 2)平面应变问题的实质:
10、只有平面应变分量且仅为x, y 的函数的弹性力学问题。,第二节 平面应力问题与平面应变问题,3. 平面问题的求解,问题:,已知:外力(体力、面力)、边界条件,,求:, 仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系:,(1)静力学关系:,(2)几何学关系:,(3)物理学关系:,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系;,形变与位移间的关系;,建立边界条件:, 平衡微分方程, 几何方程, 物理方程,(1)应力边界条件;,(2)位移边界条件;,求解:,数学问题:偏微分方程的边值问题 解析法:逆法,半逆法,三角级数 法,复变函数法,特殊函数法 近似法:差分法,变分法,有限元法,第二节 平面应力问题
11、与平面应变问题,如图所示三种情形,是否都属平面问题?是平面应力问题还是平面应变问题?,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,课堂讨论:,主要内容复习:,两类平面问题:,平面应力问题,平面应变问题,几何特征,受力特征,应力特征,几何特征;,受力特征;,应变特征。,外力、应力、形变、位移。,基本假定:,(1) 连续性假设;,(2) 完全弹性假设;,(3) 均匀性假设;,(4) 各向同性假设;,(5)小变形假设。,(注意:各分量正负号规定),(掌握这些假设的作用),基本概念:,理想弹性体,第二节 平面应力问题与平面应变问题,讨论:,1。平面应力问题中, 是否为0? 2。平面应变问题中, 是否为0?
12、,1。平面应力中z向变形不受限制,由于泊松效应,x,y方向上的应力变在z向必然引起应变。,2。由于泊松效应,x,y方向上的应变 在z向必然引起z向应变,但平面应变中z向变形受限制,必然产生z向应力。,课后作业:习题2-14,第二节 平面应力问题与平面应变问题,平面问题的求解,问题:,已知:外力(体力、面力)、边界条件,,求:, 仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系:,(1)静力学关系:,(2)几何学关系:,(3)物理学关系:,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系;,形变与位移间的关系;,建立边界条件:, 平衡微分方程, 几何方程, 物理方程,(1)应力边界条件;,(2)位移边界
13、条件;,求解:,第三节 平衡微分方程,二元函数泰勒展开式:,函数 在 某领域连续且 n+1 阶可导,则:,第三节 平衡微分方程,取微元体PABC(P点附近),Z 方向取单位长度。,设P点应力已知:,单元内体力:,AC面:,BC面:,注: 1)应用了连续性假设 2)用了小变形假定,以变形前的 尺寸代替变形后尺寸。,知识点回顾,第三节 平衡微分方程,由微元体PABC平衡,得,整理得:, 切应力互等定理,第三节 平衡微分方程,两边同除以dx dy,并整理得:,两边同除以dx dy,并整理得:,第三节 平衡微分方程,平面问题的平衡微分方程:,说明:,(1)两个平衡微分方程,三个未知量:, 超静定问题,
14、需找补充方程才能求解。,(2)对于平面应变问题,x、y方向的平衡方程相同,z方向自成平衡,上述方程两类平面问题均适用;,(3)平衡方程中不含E、,方程与材料性质无关;,(4)平衡方程对整个弹性体内都满足,包括边界。,第三节 平衡微分方程,比较:,理论力学考虑整体平衡,只能用来确定物体是运动还 是静止状态;,材料力学考虑的是有限部分的平衡(V);,弹性力学考虑的是微分体的平衡(dV),每个微分平衡 必然保证有限部分平衡和整体平衡,弹性力学对平衡的 考虑是严格的、精确的。,第四节 几何方程 刚体位移,第四节 几何方程 刚体位移,建立平面问题中应变与位移的关系,1. 几何方程,一点的变形,线段间的相
15、对转动;,考察P点邻域内线段的变形:,变形前,P,A,B,u (x,y),v (x,y),注:这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,第四节 几何方程 刚体位移,PA的正应变:,PB的正应变:,P点的剪应变:,P点两直角线段夹角的变化,第四节 几何方程 刚体位移,整理得:,几何方程,说明:,反之,已知 , u、v 能否确定,(3),?,第四节 几何方程 刚体位移,令:,假设物体内没有形变,是否也没有位移?,2. 刚体位移,第四节 几何方程 刚体位移,讨论:,(2),r,说明:, P点沿切向绕O点转动, 绕O点转过的角速度(刚性转动),(1),仅有平移。,刚体位移,第四节 几何方程 刚体位移,结论:,
16、当物体位移确定时,形变确定;,弹性体位移:,2. 当物体形变确定时,位移不完全确定,这时:,第五节 物理方程,在理想弹性体条件下:物理方程即为广义胡克定律。,E-拉压弹性模量; G-剪切弹性模量,切变模量 -泊松比。,第五节 物理方程,应力的应变表示,由于平面应力问题中,应变的应力表示, 平面应力问题物理方程,第五节 物理方程,1.平面应力问题物理方程,由于平面应变问题中, 平面应变问题的物理方程,思考:,(2)平面应变问题 物理方程的另一形式?,第五节 物理方程,2.平面应变问题物理方程:, 平面应变问题的物理方程, 平面应力问题的物理方程,第五节 物理方程,3.两类平面问题物理方程的转换:,应用了理想弹性体的四个假设或者说物理方程适用于理想弹性体,第二节 平面应力问题与