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1、青岛市2020年高三自主检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的四则运算得到，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项.【详解】，复数z在复平面上对应的点为，该点在第二象限，故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限，故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.2.已知全集，集
2、合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简集合M，N，根据集合的交集、补集运算求解即可.【详解】,故选：A【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于容易题.3.如图是一个列联表，则表中、处的值分别为（ ）总计总计A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据表格中的数据可先求出、的值，再结合总数为可分别求得和的值.【详解】由表格中的数据可得，.故选：B.【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题.4.若直线，与平行，则下列选项中正确的（ ）A. p是q的必要非充分条件B. q是p的充分非必要条件C.
3、 p是q的充分非必要条件D. q是p的非充分也非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据与平行，得到或，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解.【详解】因为与平行，所以或.经检验，当或时，两直线平行.设，或，因为,所以p是q的充分非必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查两直线平行应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.在中，如果，那么的形状为（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】结合以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为，即，又，所以与一正一负，故而得解.【详解】解：，即与异号，又，与一正一负，为钝
4、角三角形故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）A. 50种B. 60种C. 80种D. 90种【答案】C【解析】【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选
5、择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法；则一共有种选法.故选：C.【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题.7.在三棱柱中，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】设三棱柱的上、下底面中心分别为、，则的中点为，设
6、球的半径为，则，设，在中，根据勾股定理和基本不等式求出的最小值为，结合已知可得，从而可得侧面积.【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，设球的半径为，则，设，则，则在中，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以，所以该三棱柱的侧面积为.故选：B.【点睛】本题考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于基础题.8.已知函数，若函数有13个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知，设，且恒过定点，转化为函数与函数的图象有13个交点，画出函数与函数的图象，利用数形结合法，即可求出的取值范围.【详解】解：由题可知，
7、函数有13个零点，令，有，设，可知恒过定点，画出函数，的图象，如图所示：则函数与函数的图象有13个交点，由图象可得：，则，即，解得：，.故选：D.【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】ABC【解析】【分析】根据图象平移求得函数的解析式，
8、再利用函数的单调性列出不等式求得的取值范围，即可求解.【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则满足，解得，所以实数的可能的取值为.故选：ABC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩张丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一
9、天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，对于数列、，下列选项中正确的为（ ）A. B. 是等比数列C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由题意可知，数列为等差数列，求出数列的公差，可得出数列的通项公式，利用等比数列的定义判断出数列是等比数列，然后利用数列的通项公式即可判断出各选项的正误.【详解】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，由题意可得，解得，（非零常数），则数列等比数列，B选项正确；，A选项错误；，C选项错误；，所以，D选项
10、正确.故选：BD.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.11.已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）A. B. 3C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据题意，得出的导数，可令切点的横坐标为，求得切线的斜率，由题意可得关于的方程有两个不等的正根，考虑判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得的范围，即可得答案.【详解】解：由题可知，则，可令切点的横坐标为，且，可得切线斜率，由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，且可知，则，即，解得：，的取值可能为，.故选：AC.
11、【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考查转化思想和运算能力.12.在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（ ）A. 若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线B. 若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆C. 若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D. 若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线【答案】ABD【解析】【分析】A.根据平面，判断点的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点的轨迹方程，判断
12、轨迹是否是双曲线.【详解】A.在正方体中，平面，所以，所以平面，平面，所以，同理，所以平面，而点P在侧面所在的平面上运动，且，所以点的轨迹就是直线，故A正确；B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为，球心到平面的距离为1，则，所以小圆周长，故B正确；C. 点P到直线AB的距离就是点到点的距离，即平面内的点满足，即满足条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确； D.如图，过分别做于点，于点，则平面，所以，过做，连结，所以平面，所以，如图建立平面直角坐标系，设，则，即，整理为：，则动点的轨迹是双曲线，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查立体几何中动点
13、轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数的取值范围.【详解】解：由题可知，方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得：，所以实数的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题.14.已知定义在的偶函数在单调递减，若，则x的取值范围_【答案】【解析】【分析】由题意结合偶函数的性质可得，再由函数的单调性即可得，即可得
14、解.【详解】因为为偶函数，所以，又在单调递减，所以，解得.所以x的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.15.若，则（1）_；（2）_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）化简二项式为，利用通项，求得，再令，求得，即可求解；（2）令，求得，根据和（1）中，即可求解.【详解】（1）由题意，可化为，由，可得，令，即时，可得，所以.（2）令，则，则，由（1）可得，所以.【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.已知，是平面上不共线的两个向量，向量与，共面，若，与的夹角为，且，则_【答案】【解析】分析】设，由已知，可得，从而可求出，则，即可求出模长.【详解】解：设，因为与的夹角为， 所以 ，则，解得，则，
