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1、培优指数函数与对数函数 作者： 日期：指数函数和对数函数一、1根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*)2有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x
2、0时，0y0时，0y1当x1；在R上是增函数在R上是减函数二、对数概念如果axN(a0，a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a0，且a1对数式与指数式的互化：axNlogaNx负数和零没有对数,1的对数是零：loga10底数的对数是1：logaa1,对数恒等式：alogaNN运算性质loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式公式：logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)推广：logambnlogab；logab2.对数函数的图象与性质a1
3、0a1时，y0 当0x1时，y1时，y0当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数一、选择题1.设函数，若对于任意实数x恒成立，则实数b的取值范围是（ ）A B C D2.函数是上的奇函数，满足，当（0，3）时，则当（，）时， =（ ） A. B. C. D. 3.设1 a b 0，f ( x ) =，则f () + f () + + f () =_。5.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_.6.先将函数f ( x ) = ln的图像作关于原点的对称变换，然后向右平移1个单位，再作关于y = x的对称变换，则此时的图像所对应的函数的解析式是 。7.已知函数y = log a x 2
4、+ 2 x + ( a 1 ) 的值域是 0，+ )，则参数a的值是 。三、解答题8.已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求；（2）判断函数的单调性（不必证明）（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.9.已知函数，函数的最小值为（1）求的解析式；（2）是否存在实数同时满足下列两个条件：；当的定义域为时，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由10.函数在区间上恒有定义，求实数的取值范围11.(本题满分12分) 已知函数，其中是大于0的常数（1）设, 判断并证明在内的单调性；（2）当时，求函数在 2 内的最小值；（3）若对任意恒有，试确定的取值范围。12.（12分）已知函数为奇函数
5、，为常数.（1）求的值；（2）当时，是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由；（3）设函数，当为何值时，不等式在有实数解？ 13.（12分）函数y=f（x）满足lg（lgy）=lg3x+lg（3x），（1）求f（x）；（2）求f（x）的值域；（3）求f（x）的递减区间14.已知二次函数在区间2，3上有最大值4，最小值1.()求函数的解析式；()设.若在时恒成立，求的取值范围.试卷答案1.D2.B3.A4.5.或6.y = e x7.1 8.解 （1） 因为是R上的奇函数，所以从而有.3分（2）由（1）知由的单调性可推知在R上为减函数.3分（3）解法一：由（1）知由上式易知在R上
6、为减函数，又因是奇函数，从而不等式等价于 .2分因是R上的减函数，由上式推得即对一切从而.2分9.解析：（1）由，知，令1分记，则的对称轴为，故有：当时，的最小值当时，的最小值当时，的最小值综述， 7分（2）当时，故时，在上为减函数所以在上的值域为 9分由题，则有，两式相减得，又所以，这与矛盾故不存在满足题中条件的的值10.解析：设，则在区间上恒有定义即在上恒成立当时，于上恒成立当时，的对称轴，在上单调增加，所以，由，所以当时，于上恒成立，则，由，得，即；由，得，解得或，所以，或综上，11.解析：（I）， 1分 （II）证明：由（I）知：，令 （III）对于3，4上的每一个x的值，不等式恒成立
7、，即：恒成立 10分由（II）知：在R上单调递增，内单调递增，显然在3，4上递增，12分， 14分12.（1）增函数，用定义证明.（2）设，当，时由（1）知在上是增函数 在上是增函数 在上的最小值为（3） 对任意恒有，即对恒成立 ，而在上是减函数，13.13考点：对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：（1）由lg（lgy）=lg3x+lg（3x），可得lg（lgy）=lg3x（3x），0x3lgy=3x（3x），即可得出（2）令u=3x（3x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数，即可得出，（3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为解答：（1）lg（lgy）=lg3x+lg（3x），lg（lgy）=lg3x（3x），0x3lgy=3x（3x），f（x）=y=103x（3x），x（0，3）（2）令u=3x（3x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数，f（x）的值域为（3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为点评：本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14.解：() 函数的图象的对称轴方程为 在区间2，3上递增。 依题意得 即，解得 () 在时恒成立，即在时恒成立在时恒成立 只需 令，由得 设 当时，取得最小值0的取值范围为略
