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1、,第十二章 微分方程,第三节,上页 下页 返回 结束,齐次方程,如果一阶微分方程,中的 f (x, y) 可以写成,则称该方程为齐次方程.,f (x, y) 是 x, y 的齐次函数 特点: f (tx, ty) = f (x, y),齐次方程,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,得原方程的通解.,的解法:,分离变量:,上页 下页 返回 结束,例1. 解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( C 为任意常数 ),上页 下页 返回 结束,例2. 解微分方程,解,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,注 显然 y = x 也是原方程的解
2、, 但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,上页 下页 返回 结束,方程的全部解是,和 y = x.,解齐次方程的关键是作变量代换：,其实，在解微分方程时，常需作变量代换.,例如,上页 下页 返回 结束,可得 OMA = OAM = ,例3. 在制造探照灯反射镜面时,解 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕 x 轴旋转而成 .,过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:,入射角 = 反射角,取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性 ,试求反射镜面的形状.,而 AO,于是得微分方程 :,上页 下页 返回 结束,利用
3、曲线的对称性, 不妨设 y 0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),上页 下页 返回 结束,第十二章 微分方程,第四节,上页 下页 返回 结束,一阶线性微分方程,解一阶线性微分方程的常数变易法,伯努利方程,一阶线性微分方程的通解公式,一、一阶线性微分方程,标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,上页 下页 返回 结束,非齐次项,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 非齐次方程,常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,上页 下页 返回
4、结束,例1. 解方程,解 对应的齐次方程,或,积分得,即,用常数变易法： 令,则,代入非齐次方程得,积分， 得,故原方程通解为,上页 下页 返回 结束,例2.,解 关于y, y不是线性的,但关于x, dx/dy是线性的,变形为,通解,例3.,解 令,原方程化为,解得,即,积分，得,上页 下页 返回 结束,例4. 求方程,(x 0)的通解.,解 注意,由通解公式 , 得,故方程可,变形为,所求通解为,上页 下页 返回 结束,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),上页 下
5、页 返回 结束,例5. 求方程,的通解.,解 令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 一阶线性方程,解法1 先解对应的齐次方程 , 再用常数变易法.,解法2 （重点）利用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,上页 下页 返回 结束,思考与练习,判别下列方程的类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,上页 下页 返回 结束,P286 13 (1, 4, 5) ; 14(2, 3) ; 17(1, 2) ; 18; 22(1, 3, 4); 23(1); 28; 31(1); 33,作 业,上页 下页 返回 结束,备用题,求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,上页 下页 返回 结束,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版巨著猜度术,件大事,利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史上的一,此外, 他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,而伯努,上页 下页 返回 结束,
