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1、二、极限,一、 函数,三、连续与间断,习题课,函数与极限,第一章,2,一、 函数,1. 函数的概念,【定义】,定义域,值域,【图形】,( 一般为曲线 ),设,函数为特殊的映射:,其中,3,2. 函数的特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,3. 反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4. 复合函数,给定函数链,则复合函数为,5. 初等函数,常数及基本初等函数,经有限次四则运算与,复合而成的一个表达式的函数.,4,求,【解】,【例1】 设函数,5,【分析】,利用函数表示法与字母无关的特性：在已知条件中，若把 1x 设成 t ，则 x 就为1t，由此可得 f (x)和 f (1x) 的另一
2、关系.,已知,求,【例2】,【解】,由,设 1x = t ，有：,即,2得：,故,【观察练习】,6,【思考与练习】,1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?,相同,相同,相同,7,2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?,不是,是,不是,【提示】 (2),8,3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?,以上各函数都是初等函数 .,9,4. 已知, 求,【提示】,5. 设,求,【提示】,10,二、 极限,1. 极限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),2. 极限存在准则及极限运算法则,11,3. 无穷小,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小（x0
3、 时）:,4.两个重要极限,6. 判断极限不存在的方法,5. 求极限的基本方法,12,【例1】 求下列极限：,【提示】,13,令,14,【解】,上式,【解】,上式,则有,【复习】 若,15,【例2】 确定常数 a , b , 使,【解】,原式,故,于是,而,16,【例3】 当,时,是,的几阶无穷小?,【解】 设其为 x 的 k 阶无穷小, 则,因,故,17,【例4】,【解】,将分子、分母同乘以因子(1-x), 则,18,【例5】,【解】,19,练习,1. 求,的间断点, 并判别其类型.,【解】,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,20
4、,2. 求,【解】,原式 = 1,(2000考研),21,3. 求,【解】 令,则,利用夹逼准则可知,22,三、 连续与间断,1. 函数连续的等价形式,有,2. 函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,其它,23,有界最值定理 ;,零点定理 ;,介值定理 .,3. 闭区间上连续函数的性质,【例1】设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,【解】,24,有无穷间断点,及可去间断点,【解】,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,【例2】 设函数,试确定常数 a 及 b .,25,【例3】设f (x)定义在区间(,)上 ,且对任意实数, 若 f (x) 在 x = 0 连续,【提示】,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,26,【证】,P73 题5. 证明: 若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理, 使,取,则,在,内连续,存在, 则,必在,内有界.,27,【例4】,【证明】,【分析】,改写结论为,若考虑辅助函数,则问题转化为证明F(x)在0,1/2上必有一个零点.,28,讨论:,则由连续函数的零点定理可知：,综上，命题得证.,
