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1、1,第九章 直线、平面、简单几何体,空间向量的坐标运算,第 讲,6,（第一课时）,2,3,1. 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做_，常用i，j，k来表示. 2. 在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做_，点O叫做原点，向量i、j、k都叫做_，,单位正交基底,坐标轴,坐标向量,4,通过每两个坐标轴的平面叫做_ ,分 别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. 3. 在空间直角坐标系中，记右手拇指指向_的正方向，食指指向_的正方向，如果中指能指向_的正方向，则称这个坐标系为
2、右手直角坐标系. 4. 在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一向量a,满足a=a1i+a2j+a3k的有序实数组(a1,a2,a3)叫做a的坐标,简记为a=_.,坐标平面,x轴,y轴,z轴,(a1,a2,a3),5,5. 在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一 向量a，满足a=xi+yj+zk的有序实数组(x,y,z) 叫做点A的坐标，记作_,其中x,y,z 分别叫做点A的_. 6. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则,A(x,y,z),横坐标、纵坐标、竖坐标,6,a+b=_; a-b= ; a=_(R); ab= _; ab (R); ab _.,a1b1+a2b2
3、+a3b3,a1=b1,a2=b2,a3=b3,a1b1+a2b2+a3b3=0,(a1+b1,a2+b2,a3+b3),(a1-b1,a2-b2,a3-b3),(a1,a2,a3),7,7. 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)， 则cosa，b= _. 8. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则dAB= = _. 9. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂 直于平面，即a，那么向量a叫做 平面的_.,法向量,8,1.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)， 且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是( ) A. 1 B. C. D. 解：ka+b=k
4、(1，1，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)， 2a-b=2(1，1，0)-(-1，0，2)=(3，2，-2). 因为两向量垂直， 所以3(k-1)+2k-22=0，解得k=,D,9,2.在空间直角坐标系中， 已知点A(1，0，2)， B(1，-3，1)，点M在y轴上， 且M到A与到B的距离相等， 则M的坐标是_ 解：设M(0,y,0). 由12+y2+4=1+(-3-y)2+1,可得y=-1, 故M(0,-1,0).,(0,-1,0).,10,3. 已知空间三点A(1，1，1)、B(-1，0，4)、C(2，-2，3)，则 与 的夹角的大小是 . 解： =(-2，-1，3)， =(-1
5、，3，-2)， 所以= ， =120.,120.,11,1. 如图，在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、DB 的中点，G在棱CD上，且CG= CD， H是C1G的中点.以D为原点， DA、DC、DD1所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系， 求向量 和 的坐标.,题型1 求点和向量的坐标,12,解：由已知可得，E(0，0， )，F ( ， ，0)， C1(0，1，1)，G(0， ，0). 因为H是C1G的中点，所以H(0， ， ). 故 点评：涉及空间向量的坐标问题，首先建 立空间直角坐标系，即找到从一点出发的 三条两两互相垂直的直线，以此点为原
6、 点，三条直线分别为三条坐标轴；然后根 据条件写出关键点的坐标；再求得向量 的坐标.,13,如图所示，PD平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，AB=2，E是PB的中点，cos ， = . (1)建立适当的空间直角坐 标系，写出点E的坐标; (2)在平面PAD内求一 点F，使EF平面PCB.,14,解：(1)以点D为原点，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0). 设E(1，1，m). 所以 =(-1，1，m) =(0，0，2m). 所以cos ， = 解得m=1. 所以点E的坐标是(1，1，1).,15,(2
7、)因为F平面PAD，所以可设F(x，0，z)， 则 =(x-1，-1，z-1). 因为EF平面PCB， 所以 . 由(x-1，-1，z-1)(2，0，0)=0，解得x=1; 由(x-1，-1，z-1)(0，2，-2)=0，解得z=0. 所以点F的坐标是(1，0，0)， 即点F是AD的中点.,16,2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E分别是A1D1、A1B1、C1D1的中点， 求证：BE平面AMN. 证明：如图建立空间直 角坐标系，设正方体 的棱长为4，则 A(4，0，0)，M(2，0，4)， N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4).,题型2 平行问题的判定与证明
8、,17,所以 =(2，2，0)， =(-2，0，4)， =(-4，-2，4). 设 =x +y ， 则 解得 所以 =- + ，所以 与 、 共面.所以BE平面AMN.,18,点评：利用坐标向量判断平行(或共面)问题的思路是：先利用平面向量基本定理，即向量a与两向量b、c共面的充要条件：a=xb+yc(x，yR).当向量b，c是坐标形式时，由待定系数法可得三个方程，两个未知数，如果有解，则说明三向量共线.再根据向量对应直线的关系得到平行(或共面).,19,20,21,22,23,24,3. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1D1中，A CB =90，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA
9、1B1B的两条对角线的交点为D， B1C1的中点为M. 求证：CD平面BDM. 证明：如图建立直角坐标系， 则B( ，0，0)，B1( ，1，0)， A1(0，1，1)，D( ， ， )， M( ，1，0).,题型3 垂直问题的判定与证明,25,所以 =( ， ， )， =( ，-1，-1)， =(0， ，- ). 于是有 所以CDA1B，且CDDM. 因为A1B和DM为平面BDM内两条相交直线， 所以CD平面BDM.,26,点评：利用空间向量的坐标运算证空间两直线垂直问题的一般步骤是：先建立空间直角坐标系，然后写出(或求出)关键点的坐标，再计算出直线所对应向量的坐标，最后计算其数量积，并判断
10、是否为零.,27,如图所示，已知在矩形ABCD中， AB=1，BC=a(a0)，PA平面ABCD， 且PA=1. (1)试建立适当的坐标系， 并写出点P、B、D的坐标； (2)问当实数a在什么范围 时，BC边上能存在点Q， 使得PQQD？,28,解：(1)以A为坐标原点，AB、AD、AP 所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系， 如图所示. 因为PA=AB=1，BC=a， 所以P(0，0，1)，B(1，0， 0)，D(0，a，0). (2)设点Q(1，x，0)， 则 =(1,x-a,0), =(-1,-x,1).,29,由 =0，得x2-ax+1=0. 显然当该方程有实数解时， BC边上才存在点
11、Q， 使得PQQD，故=a2-4 0. 因为a0，故a的取值范围为2,+).,30,1. 在给定的空间直角坐标系中，对任一向量a，据空间向量基本定理知，a的坐标是唯一存在的. 2. 在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点P，过点P作yOz平面的平行平面，交x轴于点A，则点P的横坐标 ，且当 与i方向相同时，x0;反之，x0.同理可确定点P的纵坐标y和竖坐标z.,31,3. 在空间直角坐标系中，求点的坐标主要有三种方法：一是几何法，即通过点P到三个坐标平面的距离来确定点P的坐标；二是待定系数法，即首先设出点P的坐标，再结合条件建立方程组求待定系数的值，进而得到点P的坐标；三是向量运算法，即把
12、求点P的坐标转化为求向量 的坐标.,32,4. 若点P在直线AB上，设 ( -1)，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则利用待定系数法可得点P的坐标为( ， ， )，这就是空间有向线段定比分点公式，可用来求点的坐标.,33,5. 在空间图形中，若有三条两两互相垂直的直线，或有一条直线垂直于一个平面，则可考虑利用空间向量的坐标运算来解题，因为这种背景图形便于建立空间直角坐标系.判断线线平行或诸点共线，转化为证ab (b0) a=b；证明线线垂直，转化为证abab=0.若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则转化为计算a1b1+a2b2+a3b3=0.,34,第九章
13、 直线、平面、简单几何体,线面垂直与面面垂直,第 讲,4,（第二课时）,35,1. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA底面ABCD. (1)当a为何值时，BD平面PAC?试证明你的结论； (2)当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PMDM；,题型4 垂直中的探索题,36,(3)若在BC边上至少存在一点M， 使PMDM，求a的取值范围. 解：(1)当a=2时， 四边形ABCD为正方形， 则BDAC. 又因为PA底面ABCD，BD平面ABCD， 所以BDPA, 所以BD平面PAC. 故当a=2时，BD平面PAC.,37,(2)证明：当a=4时，取BC边
14、的中点M， AD边的中点N，连结AM、DM、MN, 因为四边形ABMN和四边形DCMN都是 正方形，所以AMD =AMN+ DMN =45+45=90，即DMAM. 又PA底面ABCD， 由三垂线定理得PMDM. 故当a=4时，BC边的中点M使PMDM.,38,(3)设M是BC边上符合题设的点M， 因为PA底面ABCD，所以DMAM, 因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边 的一个公共点，则AD2AB， 即a4为所求.,39,点评：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识.因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用.事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.探究空间的垂
15、直(或平行)的条件是近几年高考立体几何中一类常见探索性题.此类题是垂直(或平行)问题中的逆向问题，可利用垂直(或平行)的性质逆推得出结论成立的一个条件.,40,如图，在四棱锥P-ABCD中，PA 底面ABCD，ABAD，ACCD，AB C =60，PA=AB=BC，E是线段PC上的一点. (1)证明：CDAE； (2)当E在PC什么位置时 PD平面ABE？,41,解：(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD.因为ACCD，PAAC=A，所以CD平面PAC.而AE平面PAC， 所以CDAE. (2)当为PC的中点时，有PD平面ABE.证明如下：由PA=AB=BC，ABC=60，可得AC=PA.因为E是PC的中点，所以AEPC.,42,由(1)知，AECD，且PCCD =C， 所以AE平面PCD.而PD平面PCD， 所以AEPD.因为PA底面ABCD， PD在底面ABCD内的射影是AD， ABAD，所以ABPD. 又ABAE=A，所以PD平面ABE.,43,2. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱BB1 上一
