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1、第二节 函数的定义域和值域,2.偶次根式函数被开方式 .,3.一次函数、二次函数的定义域均为 .,一、常见基本初等函数的定义域. 1.分式函数中分母 .,不等于零,大于或等于0,R,4.yax，ysinx，ycosx，定义域均为 .,5.ytanx的定义域为 .,6.函数f(x)x0的定义域为 .,7.实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有 意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.,R,x|xk ，kZ,x|x0,二、基本初等函数的值域 1.ykxb(k0)的值域是 .,2.yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为 ；当a0时，值域为 .,3.y (k0)的值域是 .,R,y
2、|y ,y|y ,y|y0,4.yax(a0且a1)的值域是 .,5.ylogax(a0且a1)的值域是 .,6.ysinx，ycosx的值域是 .,7.ytanx的值域是 .,y|y0,R,R,1,1,函数的最值与值域有何联系？,提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.,1.下列函数中，与函数y 有相同定义域的是 () A.f(x)ln xB.f(x) C.f(x)|x| D.f(x)ex,解析：y 定义域为(0，)，f(x)ln x定义域为(0，).f(x) 定义域为x|x0.f(x)|x|定义域为
3、R.f(x)ex定义域为R.,答案：A,2.函数y 的值域为 () A.R B.y|y C.y|y D.y|0y ,解析：x222，0 0y .,答案：D,3.下列图形中可以表示以Mx|0 x1为定义域， 以Ny|0y1为值域的函数的图象是 (),解析：由题意知，自变量的取值范围是0,1，函数值的取值范围也是0,1，故可排除A、B；再结合函数的性质，可知对于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.,答案：C,4. 为实数，则函数yx23x5的值域是 .,解析：由已知可得x0，则当x0时，ymin5， y5.,答案：5，),5.函数f(x) lg(3x1)的定义域是.,解析：要使
4、函数有意义，自变量x必须满足 得 解得 x1.即函数的值域为( ，1).,答案：( ，1),1.求函数定义域的步骤 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是 使函数解析式有意义的自变量x取值的集合，求解时 一般是先寻找解析式中的限制条件，建立不等式，再 解不等式求得函数定义域，当函数yf(x)由实际问题 给出时，注意自变量x的实际意义.,2.抽象函数的定义域 要弄清所给函数间有何关系，进而求解，如已知函 数yf(x)的定义域为a，b，求yf(x2)的定义域， 其实质是求ax2b中x的范围，即其定义域为 a2，b2.反之，若yf(x2)的定义域为 a，b，求f(x)的定义域，则应求x2的范
5、围，即 axb，a2x2b2，即f(x)的定义域为 a2，b2，即f(x)与f(x2)中的x含义不同.,(1)求函数f(x) 的定义域； (2)已知f(x)的定义域是2,4，求f(x23x)的定义域.,(1)只给出解析式求定义域：只需要使解析式的 意义，列不等式组求解. （2）抽象函数定义域：看清X2-3x与f(x)中的x含 义相同,【解】(1)要使函数有意义，则只需要： 解得3x0或2x3. 故函数的定义域是(3,0)(2,3).,即,(2)依题意，只需2x23x4， 解得1x1或2x4. 故f(x23x)的定义域是1,12,4.,即 即,1.(1)求函数f(x) 的定义域； (2)若函数f
6、( 1)的定义域是 ， 求f(x)的定义域.,解：(1)由(2x4)0知2x40，即x2， 又由|x|30知x3. 所以函数定义域为 x|xR且x2，x3. (2) x9， 3， 12， f(x)的定义域是,函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的.函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的.在函数的定义域受到限制时，一定要注意定义域对值域的影响.,1.数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于 图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法， 如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问 题的关键. 2.配方法：求二次函数或可化为二次函数形式的函数的
7、 值域，可使用该方法.,3.换元法：对于形如yaxb (a，b，cR， ac0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函 数的形式求值域. 4.单调性法：若函数在给定区间上是单调函数，可利 用单调性求值域.,【注意】不论用哪种方法求函数值域，都一定要 先确定其定义域.,求下列函数的值域，并指出函数有无最值.,（1）y= （2）y= （3）y=,（1）分离常数， （2）利用函数的单调性或基本不等式， （3）换元法.,【解】(1)y 1， 1x21，0 2， 1 11，即y(1,1. 函数有最大值为1，无最小值.,(2)法一：任取x1，x2(x1x20)，且x1x2， f(x1)f(x2)x1 (x
8、2 ) 当x1x22或2x1x2时，f(x)递增； 当2x1x20或0x1x22时，f(x)递减.,故x2时，f(x)极大f(2)4； x2时，f(x)极小f(2)4. 所求函数的值域为(，44，). 函数无最值.,法二：当x0时，x 2 4， 当且仅当x2时“”成立； 当x0时，x (x )4， 当且仅当x2时“”成立. y(，44，)，函数无最值.,(3)法一：设 函数有最大值 ，无最小值.,y= -t= (t+1)2+1 (t0),法二：,定义域为,此函数有最大值为 无最小值.,函数 上均单调递增,y=x,y=- 在,1-2x0, x,2.求下列函数的值域： (1)yx22x(x0,3)
9、； (2)y (3)理yx 文yx4,解：(1)y(x1)21，根据二次函数的性质， 可得原函数的值域是3,1.,故值域为,(3)理先考虑函数定义域，由1x20，得1x1， 设xcos(0，)，则ysincos sin ( )， 易知当 时，y最大值为 ， 当时，y最小值为1，原函数的值域是1， .,文设t ，则x1t2， 原函数可化为y1t24t(t2)25(t0)， y5，原函数值域为(，5.,已知二次函数f(x)ax2bx(a、b是常数，且a0)满足条件：f(2)0，且方程f(x)x有两个相等实根. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值域分
10、别为m，n和2m,2n？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由.,(1)由f (x)x有两个相等实根，则0； (2)求二次函数的值域，要注意二次函数的对称轴， 再利用其单调性求最值.,【解】(1)方程f(x)x，即ax2bxx， 亦即ax2(b1)x0， 由方程有两个相等实根，得(b1)24a00， b1. 由f(2)0，得4a2b0 由、得，a ，b1， 故f(x) x2x.,(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知， f(x) x2x (x1)2 ， 则2n ，即n . f(x) (x1)2 的对称轴为x1， 当n 时，f(x)在m，n上为增函数.,于是有 故存在实数m2，n0，
11、使f(x)的定义域为m，n，值域为2m,2n.,3.已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x) xx2. (1)求x0时，f(x)的解析式； (2)问是否存在这样的非负数a，b，当xa，b时， f(x)的值域为4a2,6b6？若存在，求出所有的a， b值；若不存在，请说明理由.,解：(1)设x0，于是f(x)xx2， 又f(x)为奇函数，f(x)f(x)xx2.,(2)假设存在这样的数a，b. a0，且f(x)xx2在x0时为增函数， xa，b时，f(x)f(a)，f(b)4a2,6b6，,考虑到为0ab,且4a-26b-6 可得符合条件的a,b值分别为,对函数的定义域和值域的考查在高考中经常出现，定义域多以选择题和填空题出现，而值域多与函数性质结合命题，2009年江西卷单独考查函数定义域的求法是高考的热点.,(2009江西高考)函数y 的定义域为 () A.(4，1)B.(4,1) C.(1,1) D.(1,1,解析由 解得1x1.,答案C,求函数定义域的题目看似简单，但却往往有一些易错 “陷阱”，如求函数y lgx2的定义域时易得出 错误答案为x|x1，将函数f(x) 的定义域误写为x|1x3.,
