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1、2020/8/15,同济版高等数学课件,*三、环流量与旋度,斯托克斯公式,*环流量与旋度,第七节,一、斯托克斯公式,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,第十一章,2020/8/15,同济版高等数学课件,一、 斯托克斯公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,证:,情形1. 与平行 z 轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).,则有,简介,2020/8/15,同济版高等数学课件,则,(利用格林公式),定理1,2020/8/15,同济版高等数学课件,因此,同
2、理可证,三式相加, 即得斯托克斯公式 ;,定理1,2020/8/15,同济版高等数学课件,情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域,则斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,证毕,定理1,2020/8/15,同济版高等数学课件,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,定理1,2020/8/15,同济版高等数学课件,
3、例1. 利用斯托克斯公式计算积分,其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整,解: 记三角形域为 , 取上侧,则,个边界, 方向如图所示.,利用对称性,2020/8/15,同济版高等数学课件,例2. 为柱面,与平面 y = z 的交线, 从 z,轴正向看为顺时针,解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式其他形式,计算,2020/8/15,同济版高等数学课件,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,定理2.,设 G 是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 ,
4、有,(2) 对G内任一分段光滑曲线 ,与路径无关,(3) 在G内存在某一函数 u, 使,(4) 在G内处处有,2020/8/15,同济版高等数学课件,证:,由斯托克斯公式可知结论成立;,(自证),设函数,则,定理2,2020/8/15,同济版高等数学课件,同理可证,故有,若(3)成立, 则必有,因P, Q, R 一阶偏导数连续,故有,同理,证毕,定理2,2020/8/15,同济版高等数学课件,与路径无关,解: 令, 积分与路径无关,因此,例3. 验证曲线积分,定理2,并求函数,2020/8/15,同济版高等数学课件,*三、 环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,
5、则斯托克斯公式可写为,2020/8/15,同济版高等数学课件,令, 引进一个向量,定义:,沿有向闭曲线 的环流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度.,rotation,2020/8/15,同济版高等数学课件,设某刚体绕定轴 l 转动,M 为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点 M 的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,2020/8/15,同济版高等数学课件,注意 与 的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意义:,例4.,求电场强度,的旋度 .,解:,(除原点外),这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.,2020/8/15,同济版高等数学课件,的外法向
6、量,计算,解:,例5. 设,2020/8/15,同济版高等数学课件,内容小结,1. 斯托克斯公式,也可写成:,其中,2020/8/15,同济版高等数学课件,在 内与路径无关,在 内处处有,在 内处处有,2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件,设 P, Q, R 在 内具有一阶连续偏导数, 则,2020/8/15,同济版高等数学课件,3. 场论中的三个度,设,梯度:,散度:,旋度:,则,2020/8/15,同济版高等数学课件,思考与练习,则,提示:,三式相加即得,2020/8/15,同济版高等数学课件,作业,P243 *2 (1),(4) ; *3(1),(3) ; *4(1); *5 (2) ; *7 补充题: 证明,习题课,斯托克斯(1819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题,的有效且一般的新方法,在1845年他导,出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之,为纳维 斯托克斯方程 ),1847年先于,柯西提出了一致收敛的概念.,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式.,他一生的工作先后分 五卷,出版 .,
