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1、,第五节 定积分在几何上的应用,一、元素法,二、平面图形的面积,三、旋转体的体积,四、平行截面面积为已知的立体的体积,五、平面曲线的弧长,六、旋转体的侧面积,七、小结 思考题,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、元素法,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,二、平面图形的面积,1、直角坐标系的情形,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明
2、：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面积,2、极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,三、旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,解,补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,四、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一
3、定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,五、平面曲线的弧长,弧长元素,弧长,1、直角坐标情形,解,所求弧长为,解,曲线弧为,弧长,2、参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,弧长,3、极坐标情形,解,解,设一旋转体的侧面由一段曲线 绕x轴旋转一周而得.为求其面积A,在a,b上取典型小区间x,x+dx,相应于此区间上的窄带形侧面可近似地看成弧微分ds绕x轴旋转一周而成.,六、旋转体的侧面
4、积,于是这一窄带形侧面可以用一个半径为|f(x)|、高为ds的圆柱面来近似代替,从而得侧面积的微分元素,所以,此处假设f(x)在a,b上可导,例19 求半径为R的球的表面积,解 以球心为原点建立一平面直角坐标系,则该球是平面上半圆盘 绕x轴旋转一周而成的旋转体,其表面积为,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,七、小结,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,思考题,思考题解答,交点,立体体积,练 习 题1,练习题1答案,练 习 题2,练习题2答案,练 习 题3,练习题3答案,
