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1、第五节 平面及其方程,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量,法向量的特征：,垂直于平面的任一非零向量,已知,设平面上的任一点,必有,一、平面的点法式方程,平面的点法式方程,其中法向量,平面上一点,解,取,所求平面方程为,化简得,另一解法：（待定系数法）,设法向量 ，有,已知,故,即,从而有,例3. 一平面通过 轴 及 ，求此平面方程,解： 设平面 的法向量为 ，由题设平 面 过,轴，必过原点，从而可知,取,平面 的点法式方程：,即,由平面的点法式方程,平面的一般式方程,法向量,二、平面的一般式方程,平面的一般式方程的
2、几种特殊情况：,平面通过原点,解: 设所求平面方程为,例4. 一平面通 过 轴，且垂直于平面,求该平面的方程.,法向量,由已知条件,所以所求平面方程为,即,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,即,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,设所求平面为,（两向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,由对称性，得：,也满足要求,例8 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,解,点到平面的距离公式,解,设所求平面的法向量,从而有,即,（1）,从而有,（2）,由(1)(2)解得:,另解：,另解：,即,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般式方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,四、小结,思考题,思考题解答,五、作 业,P42, 1,3,5-9,
