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1、第九章 拉普拉斯变换,高等数学（下）第2版,书名：高等数学（下）第2版 书号：978-7-111-49498-0 作者：陶金瑞 出版社：机械工业出版社,第一节 拉氏变换的概念,重点：,1. 拉氏变换的定义,2. 简单函数拉氏变换的求法,难点：,拉氏变换的计算,一 拉普拉斯变换的定义,拉氏变换通常用符号,表示，即,若,是,的拉氏变换，则称,是,函数，拉氏变换是可逆的积分变换，称,的像,是,的像,原函数，或逆变换。,设函数,的定义域为,且当,时，,，若积分,对于,在某一范围内的值收敛，则此积分就确定了一,个参数,的函数，记为,，即,，函数,称为,的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。,说明：1. 在很多实
2、际问题中，以时间,为自变量的函数,，当,时是无意义或者无需考虑的，故对本章,中出现的任何函数,，总假定当,时，,且常常将,简记为,;,;,2. 积分,中的,一般情况下为复数，,但我们只讨论,是实数的情况。,3. 函数,的拉氏变换,，当且仅当积分,时才存在，但一般说来，科技、,生产中常用函数的拉氏变换总是存在的。,说明：1. 在很多实际问题中，以时间,例1: 求函数,的拉氏变换。,解：由公式,，得函数,的拉氏变换为,所以 ，,例2： 求函数,的拉氏变换（其中,为实数）。,解：由公式可得：,例3：求函数,的拉氏变换。,解：当,时，两次使用分布积分，得,由此可得,同理可算得余弦函数的拉氏变换,二 两
3、个重要函数,1. 单位阶梯函数,单位阶梯函数,由例1知，它的拉氏变换,的图像如下页左图所示，,，将,的图像向右,平移,个单位，即得,设,，则,其图像如下页右图所示。,2. 狄拉克函数,定义：设,当,时，函数序列,的极限,称为,狄拉克函数或单位脉冲函数，记为,函数。,由此可见，,是这样一个函数：,的图形如图所示。,显然，对任何,，有,所以，我们规定,有些工程书上将,函数用一个长度等于1的有向线段来,表示（如图），这个线段的长度表示,函数的积分，称为,函数的强度。,根据拉氏变换的定义，可以得到,的拉氏变换,第二节拉氏变换的性质,重点：拉氏变换的性质,难点：拉氏变换的性质,1.线性性质：若,则对于任
4、意常数,和,有,例1：求双曲正弦函数,的拉氏变换。,解：,例2：求函数,的拉氏变换。,解：,由于,，所以,2. 平移性质：若,，则,例3：求函数,和,的拉氏变换.,解：由平移性质及,及,可得:,3. 延滞性质：若,，则,(,),例4 求狄拉克函数,的拉氏变换。,解：由,及,可得：,同理可得：,4 微分性质：若,，且,及直至,的拉氏变换都存在，则,一般有,特别的，如果,则,(,),例5 证明:,证明： 设,，注意到,及,由,，有,而,即得,所以，,例6 利用微分性质求,解：由,故,5. 积分性质:,(,),，且,连续，则,性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数,的拉氏变换除以参数,.
5、,性质5可以推广到有限次积分的情形：,(,),例7 查表求,解：令,，则由表中序号4得：,或,第三节拉氏逆变换的运算,重点：拉氏逆变换的求法,难点：拉氏逆变换的求法,一 拉氏逆变换的定义：,若,存在，则称,为,的拉氏变换，记为,此时也称,为,的拉氏逆变换，记为,2.若,，则,(1),(2),(5),(4),(3),(,),例1 求下列各像函数的拉氏逆变换,(1),(3),(4),(2),解： （1） 由性质及表（序号11），得：,（2） 由性质及表（序号2，3），得：,（3） 由性质及表（序号4，5），得：,（4） 由性质及表（序号13，14），得：,例2 求,的拉氏逆变换。,解： 先将,分解
6、为两个简单分式之和，,其中,为待定的常数，上式两边同乘以,，得,令,，得,，又令,，得,。所以,于是，,例3 求,的拉氏逆变换。,解：设,（因分母有一个因式,为二次式，所以它的分式要写成一次式形式），由上式得,比较两边的系数，得,解方程组，得,所以,第四节拉氏变换的应用,重点：.用拉氏变换解微分方程,.传递函数,难点：.用拉氏变换解微分方程,.传递函数,一 解微分方程,用拉氏变换解微分方程,的一般步骤为：,(1)对方程两边分别,求拉氏变换；,(2)解出未知函数,的拉氏变换；,(3)求出像函数的拉氏,逆变换，解出未知,函数。,例1 求解,，已知,解： 第一步 对方程两边取拉氏变换，并设,因,故上
7、式变为,第二步 解出,第三步 求像函数,的逆变换。,例2 求微分方程,满足初始条件：,的解。,解： 对方程两边求拉氏变换，并设,，得,将,代入，得,解得,再对上式取拉氏逆变换，得,这就是所求微分方程的解。,例3 一个,欧姆的电阻，,亨利的电感和一个,伏的,电源连同开关,串联起来（如图），在,时开关闭合，,此时电流,。若,（1）,，（2）,（3）,，求,时的电流,解：根据基尔霍夫定律，有,（1）,令,(1) 若,，对（1）取拉氏变换，并代入初始条件，得,取逆变换，得到电流,（2） 若,，则,取逆变换，得到电流,（3）若,，则,取逆变换，得到电流,例4 给定如图所示的电网络中，若初始电流是零，求各
8、个,支路中电流的变化规律。,解 由基尔霍夫定律，得,其中，,令,对方程组取拉氏变换，并代入初始条件,得,二 传递函数,定义：一个具有零初始条件的线性系统（或部件、或基本,环节、或网络），它的输出,的拉氏变换,与输入,的拉氏变换,之比,称为该系统的传递函数，,记为,，即,，或者,系统的传递函数表达了该系统本身的特性，而与系统的,拉氏变换就可求出输出的拉氏变换。,输入无关，即如果一个系统的传递函数已知，则由输入的,一个系统如由多个基本环节串联而成，则该系统的,传递函数是所有基本环节的传递函数之积。,整理，得,解方程组，得,取逆变换，得到电流的变化规律,.,例5 求如图所示电路的传递函数，这里输入是电压,输出是电压,并求当输入电压,时的输出电压。,解： 设电路的左网孔的电流为,由回路电压法，得,，,对此方程组取拉氏变换，得,由（2）式，得,。代入（1）得,故该电路的传递函数为,当,，即,时，,此时,再求逆变换，即得到输出电压为,
