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1、定积分 习题课,一、主要内容,问题1: 曲边梯形的面积,问题2: 变速直线运动的路程,定积分,存在定理,广义积分,定积分 的性质,牛顿-莱布尼茨公式,定积分的 计算法,二、内容提要,1 定积分的定义,定义的实质,几何意义,物理意义,2 可积和 可积的两个充分条件,3 定积分的性质,线性性,可加性,非负性,比较定理,估值定理,积分中值定理,积分中值公式,若M 和 m 是,变上限定积分及其导数,牛顿莱布尼茨公式,定积分的计算法,（1）换元法,换元积分公式,（2）分部积分法,分部积分公式,微积分基本公式,利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算,广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的
2、广义积分,三、典型例题,例1,解,例2,广义积分中值定理,设f(x) 在 a ,b上连续， g(x) 在 a ,b上可积，且不变号，则,证,因f(x) 在 a ,b上连续，故f(x) 在 a ,b上必取得,最大值M和最小m，,又g(x) 在 a ,b上不变号,故不妨设,若,则由上式知,可取a ,b内任一点,若,由介值定理,例3,证明,证一,由广义积分中值定理,证二,例4,求极限,证三,解,如果能把数列的通项写成,的形式,就可以利用,或,把数列极限问题转化为定积分,的计算问题,与数列的极限有着密切联系,由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分,证明Cauchy-Schwarz不等式,证
3、,例7,记,则,另证,定积分不等式的证明方法辅助函数法,将一个积分限换成变量，移项使一端为 0 另一端即为所求作的辅助函数 F ( x ), 判定单调性，与端点的值进行 比较即得证,例8,设,求,解,这是 型未定式的极限,解,由LHospital法则,a = 0 或 b =1,将 a = 0 代入知不合题意,故b =1,例9 试确定 a , b 的值使,证明,证一,由定积分的定义,（ 因 f ( x ) 是凸函数）,证二,记,则a 0,例10 设,上凸,故其上任一点的切线都在曲线的上方,在 x = a 处的切线方程为,证三,易证明当 t 0 时有,或,又曲线,例11,设 f ( x ) 在 a
4、 , b 上连续且 f ( x ) 0 证明,令,则 F ( x ) 在 a , b 上连续，在( a , b ) 内可导,即 F( x ) 单调增,设,则,由介值定理得,即,证,解,例12,例13 设 f ( x ) 在 0 , 1 上连续，且单调不增,证明 对任何,有,证一,由积分中值定理,再由f ( x )单调不增,证二,则F(1)=0,再由f ( x )单调不增,证三,证四,证五,由f ( x )单调不增,例14 计算,解一,= 0,= 0,解二,由定积分换元法知,例15,证明 方程,在 ( 0 , 1 ) 内至少有一根,证,则 F(x) 在 0,1 上连续，在 (0,1) 内可导,由
5、 Rolle 定理,在 ( 0 , 1 ) 内至少有一根,例16 已知周期为L的函数在,上是连续的奇函数，证明,也是以L为周期的函数,证一,对称区间上奇函数的积分,证二,例18 设 f ( x ) , g ( x ) 在 a , b 上连续，证明,证,关键在于作出辅助函数 F(x),则 F(a) F(b) 的符号不易判别，得不出结论,两边积分得,则 F ( x ) 在 a , b 上连续，在 ( a , b ) 内可导 且F ( a ) = F ( b ) = 0,由 Rolle 定理知,注： 辅助函数法证明定积分等式主要 适用于证明在积分限中至少存在一点 使等式成立的命题,移项使一端为 0,另一端即为,验证 F ( x ) 满足介值定理或 Rolle 定理,
