《高等数学专题讲座曲线积分与曲面积分课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学专题讲座曲线积分与曲面积分课件（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十一讲：曲线积分与曲面积分,高等数学专题讲座,主讲：,曲线积分与曲面积分是高等数学中比较难掌握的部分，曲线积分与曲面积分是多元函数积分学的又一组成部分。 它们与重积分的区别在于二重与三重积分的积分区域分别为平面和空间中的区域，而曲线积分的积分域则是平面或空间中的一条曲线，曲面积分的积分域则市空间中的一个曲面。 在学习过程中应弄清四种积分的概念、物理意义，从而把握各种积分计算方法的原理及本质。,学习重点与难点,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区 间 平面域 空间域,曲线积分,曲线弧,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面
2、积分,一、对弧长的曲线积分,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,基本思路:,计算定积分,求曲线积分,二、对坐标的曲线积分,1. 定义,2. 性质,(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,3. 计算, 对有向光滑弧, 对有向光滑弧,基本思路:,计算定积分,求曲线积分,4. 两类曲线积分的联系, 对空间有向光滑弧 :,三、格林公式及其应用,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的
3、内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,1、 格林公式,2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,四、对面积的曲面积分,1. 定义:,则,注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式,简化计算的技巧.,2. 计算:,设,基本思
4、路:,计算二重积分,求曲线积分,说明:,可有类似的公式.,1) 如果曲面方程为,2) 若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.,五、对坐标的曲面积分,1、定义:,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,2. 性质,(1) 若,之间无公共内点, 则,(2) 用 表示 的反向曲面, 则,3. 计算:,基本思路:,计算二重积分,求曲线积分,（上侧取“+”, 下侧取“”), 若,则有, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),令,向量形式,4、联系:,Green 公式,Gauss 公式,推广,六、高
5、斯公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在,面 所围成,则有,(Gauss 公式), 的方向取外侧,Gauss公式的应用:,(1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:,七、斯托克斯公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,则有,1、 斯托克斯公式,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,2、空间曲线积分与路径无关的条件,定理2.,设 G 是空间一维单连通域,具
6、有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有,(2) 对G内任一分段光滑曲线 ,与路径无关,(3) 在G内存在某一函数 u, 使,(4) 在G内处处有,曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 选择积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲
7、线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,例1：,计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,例2. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,例3. 计算,其中 为球面,解:,化为参数方程,则,例4. 计算,其中 为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,( 的重心在原点),例5. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,二者夹角为 ,例6. 设,曲线段 L 的长度为s, 证明,续,证:,设,说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,例7.,将积分,化为对弧长的积,分
8、,解：,其中L 沿上半圆周,思考与练习,1. 设,且都取正向, 问下列计算是否正确 ?,提示:,例8. 设 C 为沿,从点,依逆时针,的半圆, 计算,解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .,原式 =,到点,例9. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到,点B(3, 4),到原点的距离,解: 由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为,例10. 已知曲线积分,与路径无关, 其中,求由,确定的隐函数,解:,因积分与路径无关 , 故有,即,因此有,例11.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算,解: 记 为平面,上
9、 L 所围部分的上侧,D为 在 xOy 面上的投影.,由斯托克斯公式,公式,D 的形心,例12. 已知平面区域,L为D 的边界的正向, 试证,证: (1) 根据格林公式,所以相等,从而,左端相等, 即(1)成立.,(2003 考研),因、两式右端积分具有轮换对称性,(2) 由式,由轮换对称性,曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 选择积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,2. 基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,
10、(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲面积分的转化,例13. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解: 设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球面坐标,例14. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,例15. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或左右),则,解: 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,例16. 求椭圆柱面,位于 xOy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S .,解:,取,例17. 计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公
11、式,例18. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,例19. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧., 原式 =,原式 =,例20. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,利用质心公式, 注意,例21. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于z = 0及 z = h,之间部分的下侧, ,
12、 , 为法向量的方向角.,所围区域为 ,则,利用质心公式, 注意,思考: 计算曲面积分,提示: 作取上侧的辅助面,介于平面 z= 0 及 z = 2,之间部分的下侧.,先二后一,例22 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体积, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,试证,证: 设 的单位外法向量为,则,的夹角,为V,例23.,证明: 设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,例24. 计算曲面积分,其中,解:,思考: 本题 改为椭球面,时, 应如何,计算 ?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式 .,例25. 利用斯托克斯公式计算积分,其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整,解: 记三角形域为 , 取上侧,则,个边界, 方向如图所示.,利用对称性,例26. 为柱面,与平面 y = z 的交线, 从 z,轴正向看为顺时针,解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,计算,57,谢 谢！,
